矩阵求导的技术,在统计学、控制论、机器学习等领域有广泛的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪,本文来做个科普,分作两篇,上篇讲标量对矩阵的求导术,下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量,粗体小写字母
表示(列)向量,大写字母X表示矩阵。
首先来琢磨一下定义,标量f对矩阵X的导数,定义为
,即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而,这个定义在计算中并不好用,实用上的原因是对函数较复杂的情形难以逐元素求导;哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想,为何要将f看做矩阵X而不是各元素
的函数呢?答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵,而是要找一个从整体出发的算法。
为此,我们来回顾,一元微积分中的导数(标量对标量的导数)与微分有联系:
;多元微积分中的梯度(标量对向量的导数)也与微分有联系:
,这里第一个等号是全微分公式,第二个等号表达了梯度与微分的联系:全微分
是梯度向量
(n×1)与微分向量
(n×1)的内积;受此启发,我们将矩阵导数与微分建立联系:
。其中tr代表迹(trace)是方阵对角线元素之和,满足性质:对尺寸相同的矩阵A,B,
,即
是矩阵A,B的内积。与梯度相似,这里第一个等号是全微分公式,第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系:全微分
是导数
(m×n)与微分矩阵
(m×n)的内积。
然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如
,我们是如何求导的呢?通常不是从定义开始求极限,而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则,再来运用这些法则。故而,我们来创立常用的矩阵微分的运算法则:
- 1. 加减法:
- 2. 逆:
- 3. 行列式:
- 4. 逐元素乘法:
- 5. 逐元素函数:
我们试图利用矩阵导数与微分的联系
,在求出左侧的微分
后,该如何写成右侧的形式并得到导数呢?这需要一些迹技巧(trace trick):
- 1. 标量套上迹:
- 2. 转置:
- 3. 线性:
- 4. 矩阵乘法交换:
- 5. 矩阵乘法/逐元素乘法交换:
观察一下可以断言,若标量函数f是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成,则使用相应的运算法则对f求微分,再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧,对照导数与微分的联系
,即能得到导数。
特别地,若矩阵退化为向量,对照导数与微分的联系
,即能得到导数。
在建立法则的最后,来谈一谈复合:假设已求得
,而Y是X的函数,如何求
呢?在微积分中有标量求导的链式法则
,但这里我们不能随意沿用标量的链式法则,因为矩阵对矩阵的导数
截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源,链式法则是从何而来?源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则:先写出
,再将dY用dX表示出来代入,并使用迹技巧将其他项交换至dX左侧,即可得到
。
最常见的情形是
,此时
,可得到
。注意这里
,由于
是常量,
,以及我们使用矩阵乘法交换的迹技巧交换了
与
。
接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算,不能随意套用微积分中标量导数的结论,比如认为AX对X的导数为A,这是没有根据、意义不明的。
例1:
,求
。其中
是
列向量,
是
矩阵,
是
列向量,
是标量。
解:先使用矩阵乘法法则求微分,
,注意这里的
是常量,
。由于df是标量,它的迹等于自身,
,套上迹并做矩阵乘法交换:
,注意这里我们根据
交换了
与
。对照导数与微分的联系
,得到
。
注意:这里不能用
,导数与矩阵乘法的交换是不合法则的运算(而微分是合法的)。有些资料在计算矩阵导数时,会略过求微分这一步,这是逻辑上解释不通的。
例2:
,求
。其中
是
列向量,
是
矩阵,
是
列向量,exp表示逐元素求指数,
是标量。
解:先使用矩阵乘法、逐元素函数法则求微分:
,再套上迹并做交换:
,注意这里我们先根据
交换了
、
与
,再根据
交换了
与
。对照导数与微分的联系
,得到
。
例3:
,求
。其中
是
矩阵,
是
矩阵,
是
矩阵,
是
对称矩阵,
是逐元素函数,
是标量。
解:先求
,求微分,使用矩阵乘法、转置法则:
,对照导数与微分的联系,得到
,注意这里M是对称矩阵。为求
,写出
,再将dY用dX表示出来代入,并使用矩阵乘法/逐元素乘法交换:
,对照导数与微分的联系,得到
。
例4【线性回归】:
, 求
的最小二乘估计,即求
的零点。其中
是
列向量,
是
矩阵,
是
列向量,
是标量。
解:这是标量对向量的导数,不过可以把向量看做矩阵的特例。先将向量模平方改写成向量与自身的内积:
,求微分,使用矩阵乘法、转置等法则:
,注意这里
和
是向量,两个向量的内积满足
。对照导数与微分的联系
,得到
。
即
,得到
的最小二乘估计为
。
例5【方差的最大似然估计】:样本
,求方差
的最大似然估计。写成数学式是:
,求
的零点。其中
是
列向量,
是样本均值,
是
对称正定矩阵,
是标量,log表示自然对数。
解:首先求微分,使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则,第一项是
,第二项是
。再给第二项套上迹做交换:
,其中先交换迹与求和,然后将
交换到左边,最后再交换迹与求和,并定义
为样本方差矩阵。得到
。对照导数与微分的联系,有
,其零点即
的最大似然估计为
。
例6【多元logistic回归】:
,求
。其中
是除一个元素为1外其它元素为0的
列向量,
是
矩阵,
是
列向量,
是标量;log表示自然对数,
,其中
表示逐元素求指数,
代表全1向量。
解1:首先将softmax函数代入并写成
,这里要注意逐元素log满足等式
,以及
满足
。求微分,使用矩阵乘法、逐元素函数等法则:
。再套上迹并做交换,注意可化简
,这是根据等式
,故
。对照导数与微分的联系,得到
。
解2:定义
,则
,先同上求出
,再利用复合法则:
,得到
。
最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果,还有个专门的名字叫做BP算法,我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋,事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见,我们推导二层神经网络的BP算法。
例7【二层神经网络】:
,求
和
。其中
是除一个元素为1外其它元素为0的的
列向量,
是
矩阵,
是
矩阵,
是
列向量,
是标量;log表示自然对数,
同上,
是逐元素sigmoid函数
。
解:定义
,
,
,则
。在前例中已求出
。使用复合法则,
,使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到
,从第二项得到
。接下来对第二项继续使用复合法则来求
,并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧:
,得到
。为求
,再用一次复合法则:
,得到
。
推广:样本
,
,其中
是
列向量,
是
列向量,其余定义同上。
解1:定义
,
,
,则
。先同上可求出
。使用复合法则,
,从第一项得到得到
,从第二项得到
,从第三项得到到
。接下来对第二项继续使用复合法则,得到
。为求
,再用一次复合法则:
,得到
,
。
解2:可以用矩阵来表示N个样本,以简化形式。定义
,
,
,
,注意这里使用全1向量来扩展维度。先同上求出
。使用复合法则,
,从第一项得到
,从第二项得到
,从第三项得到到
。接下来对第二项继续使用复合法则,得到
。为求
,再用一次复合法则:
,得到
,
。