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Description
传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。
地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。
Input
仅含一行，两个正整数 N, P。
Output
仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。
Sample Input
4 7
Sample Output
3
HINT
对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109
【题解】
f[i][j]表示以1..j这些数字作为开头,长度为i,且满足第一个数大于第二个数的方案数。
g[i][j]表示以1..j这些数字作为开头,长度为i,且满足第一个数小于第二个数的方案数。
f[i][j]所代表的每一个方案都可以与g[i][j]对应一个。
则只要求f就好。
f[i][j] = f[i][j-1] + f[i-1][i-(j-1)];
左边的话看f数组的定义就能理解。
右边:
要插入一个j放到开头。则第二个数字肯定是1..j-1之间。但是你不能加上f[i-1][j-1];
因为这样加上去就不满足定义了。
即:f[i-1][j-1]第一个和第二个是递减的,然后j又大于j-1.则变成连续三个递减了。。
那就加上f[i-1][i-(j-1)];
这个可以由f和g的一一对应关系想出来。
最后输出f[n+1][n+1],n+1次循环的时候放一个不存在的n+1在开头。就能起到累加所有答案的效果。
还有一个问题，就是如果f[i-1][i-(j-1)]所代表的序列中有和j相同的数字该怎么办？
那么就只要把大于等于j的数字都加上1就可以了
比如f[i-1][i-(j-1)]代表了序列{3,2,4};
现在j =3 ;
则把3,2,4中3和4加上1；
在把3放在首位
就变成了
{3,4,2,5}
大于了n?
那就全都再减去1呀
{2,3,1,4};
很巧妙。
【代码】
/**************************************************************
Problem: 1925
User: chengchunyang
Language: C++
Result: Accepted
Time:256 ms
Memory:856 kb
****************************************************************/
#include <cstdio>
#include <stdlib.h>
const int MAXN = 4210;
int n, p, f[2][MAXN] = { 0 },ans = 0;
void input_data()
{
scanf("%d%d", &n, &p);
}
void get_ans()
{
f[0][2] = 1;
for (int i = 3; i <= n+1; i++)
{
int now = i & 1,last = (i-1)&1;
for (int j = 1; j <= i; j++)
f[now][j] = (f[now][j-1] + f[last][i - (j - 1)]) % p;
}
}
void output_ans()
{
int now = (n + 1) & 1;
f[now][n+1] = (f[now][n+1] * 2) % p;
printf("%d
", f[now][n+1]);
}
void special_judge()
{
if (n == 1)
{
printf("1");
exit(0);
}
}
int main()
{
//freopen("F:\rush.txt", "r", stdin);
input_data();
special_judge();
get_ans();
output_ans();
return 0;
}