Luogu5369 [PKUSC2018]最大前缀和

题目链接：洛谷

题目大意：给定一个长为$n$的整数序列，求全排列的最大前缀和（必须包含第一个数）之和。

数据范围：$1leq nleq 20,1leq sum_{i=1}^n|a_i|leq 10^9$

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神级状压dp，不得不服。。。

我们考虑对全排列的最大前缀和的前缀的集合进行dp。

设$f[S],g[S]$分别表示集合$S$内的数组成的排列中，最大前缀和为$sum[S]$和负数的排列数，其中$sum[S]$为$sum_{iin S}i$

我们发现，如果这个最大的前缀组成的集合就是$S$，当且仅当前$|S|$个数的最大前缀和为$sum[S]$，后面$n-|S|$个数的最大前缀和为负数，所以

$$ans=sum_{Ssubset U}sum[S]*f[S]*g[U-S]$$

其中$U$表示全集。注意这里$g[S]$必须要求是负数才可以，0不行，否则可能会重复统计。

然后考虑对$f,g$进行dp。

若$sum[S]geq 0$，则$g[S]=0$，否则枚举最后一个数$j$，即$g[S]=sum_{jin S}g[S-{j}]$

若$sum[S]geq 0$，则对于$j otin S$，$f[S+{j}]+=f[S]$，否则$f[S]$对$f[S+{j}]$无贡献。

时间复杂度$O(n2^n)$，空间复杂度$O(2^n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define Rint register int 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1 << 20, mod = 998244353;
int n, lim, sum[N], f[N], g[N], ans;
inline int add(int a, int b){int c = a + b; return c >= mod ? (c - mod) : c;}
int main(){
    scanf("%d", &n); lim = 1 << n; g[0] = 1;
    for(Rint i = 0;i < n;i ++){
        scanf("%d", sum + (1 << i));
        f[1 << i] = 1;
    }
    for(Rint i = 1;i < lim;i ++)
        sum[i] = add(sum[i ^ (i & -i)], sum[i & -i]);
    for(Rint i = 1;i < lim;i ++)
        if(sum[i] >= 0){
            for(Rint j = 0;j < n;j ++)
                if(!(i & (1 << j))) f[i | (1 << j)] = add(f[i | (1 << j)], f[i]);
        } else {
            for(Rint j = 0;j < n;j ++)
                if(i & (1 << j)) g[i] = add(g[i], g[i ^ (1 << j)]);
        }
    for(Rint i = 1;i < lim;i ++)
        ans = add(ans, (LL) sum[i] * f[i] % mod * g[lim - 1 - i] % mod) % mod;
    printf("%d", (ans % mod + mod) % mod);
}