欧拉回路&欧拉路径学习笔记

基础性质（用来判定）：

1.无向图欧拉回路没有奇数点 （有向图所有点入度等于出度）

2.无向图欧拉路径只有两个奇数点 (有向图有一个顶点入度比出度大1，有一个顶点出度比入度大1，其他的全相等)

3.图连通

找欧拉回路（找不到时找到欧拉路径）算法(Hierholzer)：

STEP0:判连通性（并查集||dfs||tarjan）

STEP1: 判断奇数点个数（即是否本图有欧拉回路），并寻找起点，如果有奇数点那么他们一定其中一个是起点，如果，没有奇数点则可以随意指定起点

STEP2：从起点开始dfs，对于从u到v点一条边，删除e(u，v)这条边，如果v没有出边，将v入栈，递归到v

STEP3:倒序出输序列

注释：因为欧拉回路在一张图中有很多个，题目常常会要求字典序,所以我会用multiset存图

例题：

1.lougu1341

code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<set>
using namespace std;
const int MAXX=10000;
multiset<int>to[MAXX];
int f[MAXX],deg[MAXX],q[MAXX];
int n,tot,ans,cnt,s=-1;
bool vis[MAXX],num[MAXX],flag;
inline int find(int x){
	if(f[x]==x)return x;
	else return f[x]=find(f[x]);
}
inline void dfs(int x){
	for(set<int>:: iterator it=to[x].begin();it!=to[x].end();it=to[x].begin()){
		int y=*it;
        to[x].erase(it);
        to[y].erase(to[y].find(x));
        dfs(y);
	}
	q[++tot]=x;
}
int main(){
   cin>>n;
   for(int i=0;i<=99;++i)f[i]=i;
   for(int i=1;i<=n;++i){
   	char a,b;
   	int x,y;
   	cin>>a>>b;
   	x=a-'A';y=b-'A';
   	int u=find(x);
   	int v=find(y);
   	f[u]=v;
   	vis[x]=1;vis[y]=1;
   	deg[x]++;deg[y]++;
   	to[x].insert(y);
   	to[y].insert(x);
   }
   for(int i=0;i<=99;++i){
   	  if(!vis[i])continue;
      num[find(i)]=1;
   }
   for(int i=0;i<=99;++i){
   	if(!vis[i])continue;
   	ans+=num[i];
   	if(s==-1)s=i;
    if(deg[i]&1){
    	cnt++;
    	if(flag)continue;
    	s=i;
    	flag=1;
    }
   }
   if((cnt!=0&&cnt!=2)||ans>1){
   	cout<<"No Solution"<<endl;
   	return 0;
   }
   dfs(s);
   for(int i=tot;i>=1;--i){
   	char ss='A'+q[i];
   	cout<<ss;
   }
   return 0;
}