HDU 5236 Article 期望

题意：

你现在要打(n)个字符，但是程序随时可能会崩溃。
你可以在恰当的时机按下 (Ctrl-S)键，崩溃后，会从最后一次保存的情况继续开始打字。
具体是这样的：

• 在每个第(i-0.1s(i>0))的时候，程序崩溃的概率为(p)
• 在每个第(is(i geq 0))的时候，你可以一口气按下(x)个键来存盘
• 在每个第(i+0.1s(i geq 0))的时候，你可以按下一个键来打字

求采取最优策略下，打完这(n)个字符，并且最后存盘，总按键次数的期望。

分析：

先不考虑可以存盘的情况，设(d(i))为打印(i)个字符按键次数的期望。
有递推公式：(d(i)=d(i-1)+1+p cdot d(i))
当你打印出前(i-1)个字符，刚刚打完第(i)个的时候：

• 有概率(p)会崩掉，这时候要重新开始，还需要的按键数的期望为(d(i))
• 有概率(1-p)没崩，打印完成了

化简一下得到：(d(i)=frac{1}{1-p}d(i-1)+frac{1}{1-p})

然后再考虑存盘的情况，我们枚举存了(x)次盘，也就是把这(n)个字符分为(x)段，每打完一段就存一次盘。
由于(frac{1}{1-p}>1)，可以看出(d(n))是指数型增长的，所以就尽可能均匀地把(n)个字符分成(x)段。
或者也可以求一下(d(n))的通项公式为：(d(n)=frac{1}{p(1-p)^n}-frac{1}{p})来验证。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100000 + 10;
const double INF = 1e20;
double d[maxn];

int main()
{
    int T; scanf("%d", &T);
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++) {
        int n, x; double p;
        scanf("%d%lf%d", &n, &p, &x);
        
        d[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) d[i] = (d[i - 1] + 1.0) / (1.0 - p);

        double ans = INF;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            int k = n / i, r = n % i;
            ans = min(ans, r*d[k+1] + (i-r)*d[k] + i*x);
        }

        printf("Case #%d: %.6f
", kase, ans);
    }

    return 0;
}