拓展欧几里得算法及代码实现

扩展欧几里得算法就是求：

　　　　　　ax + by = gcd(a, b)

的一组整数解(x, y)

一、非递归的实现：

首先看a = 60, b = 22的情况：

表格左边是欧几里得算法，右边等式计算ax + by = gcd(a, b)的解

a = 2 × b + 16	16 = a - 2b
b = 1 × 16 + 6	6 = b - 1 × 16    = b - 1 × (a - 2b) 　= -a + 3b
16 = 2 × 6 + 4	4 = 16 - 2 × 6    = (a - 2b) - 2 × (-a + 3b)    3a - 8b
6 = 1 × 4 + 2	2 = 6 - 1 × 4    = (-a + 3b) - 1 × (3a - 8b)    = -4a + 11b
4 = 2 × 2 + 0

这是《数论导引》里的伪代码：

1. 置x = 1, g = a, v = 0 与 w = b
2. 如果w = 0,则置y = (g - ax)/b，并返回值(g, x, y)
3. g除以w得余数t，g = qw + t
4. 置s = x - qv
5. 置(x, g) = (v, w)
6. 置(v, w) = (s, t)
7. 转到第2步

那么x是如何计算出来的呢，x是上上次余数的a的系数减去这次求得的q乘以上次余数的a的系数

也就是r(n) = r(n-2) - q(n)×r(n-1)　　　　(括号中的数代表下标)

这句话有点绕，=_=!!。。

再看一般情况的表格：

a = q1b + r1	r1 = a - q1b
b = q2r1 + r2	r2 = b - q2r1
r1 = q3r2 + r3	r3 = r1 - q3r2
……	……

int ex_gcd1(int a, int b, int &x, int &y)
{
    int g, v, w, s, t, q;
    x = 1;
    v = 0;
    g = a;
    w = b;
    while(w != 0)
    {
        q = g / w;
        t = g % w;
        s = x - q*v;
        x = v;
        g = w;
        v = s;
        w = t;
    }
    y = (g - a*x) / b;
    return g;
}

二、递归方式的实现

令a' = a%b, t = a/b, y' = y + tx

ax + by = g

ax - tbx + tbx + by = g

(a - tb)x + b(tx + y) = g

a'x + by' = g

by' + a'x = g

y = y' - tx,y'是比y深一度的递归的y

int ex_gcd2(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int g = ex_gcd2(b, a%b, y, x);
    y = y - a/b*x;
    return g;
}