• BZOJ4408:[FJOI2016]神秘数


    浅谈主席树:https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9956734.html

    题目传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4408

    我们先把问题简化,给你一个可重集,求最小的不能被凑出来的正整数。

    性质一:假设原集合可以把([1,num])全部凑出来,新加入一个数字(x),就可以凑出([1,num+x])

    证明:显然。

    性质二:如果你已经可以凑出([1,num_1]),当前集合里权值在([1,num_1])里的所有数的权值和为(num_2),那么你就可以凑出([1,num_2])

    证明:因为性质一。

    性质三:如果你由([1,num_1])得到了([1,num_2])(num_2>num_1),然后由([1,num_2])得到了([1,num_3])(num_3> num_2),那么(num_3geqslant2*num_1)

    证明:因为由(num_2)转到(num_3),增加的数字必然在([num_1,num_2])内,所以(num_3geqslant num_1+num_1)

    因为这两条性质,我们可以将最小的不能凑出的数不断变大,而且是成倍增长的。先钦点不能凑出的数字为(1),然后根据性质二不断变大,时间是(60*logn)的。

    时间复杂度:(O(60*mlogn))

    空间复杂度:(O(nlogn))

    代码如下:

    #include <cstdio>
    using namespace std;
    
    const int maxn=1e5+5;
    
    int n,m,sum;
    int a[maxn],rt[maxn];
    
    int read() {
    	int x=0,f=1;char ch=getchar();
    	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    	return x*f;
    }
    
    struct tree_node {
    	int sum,cnt,ls,rs;
    };
    
    struct chairman_tree {
    	int tot;
    	tree_node tree[maxn*35];
    
    	void ins(int lst,int &now,int l,int r,int pos) {
    		now=++tot;tree[now]=tree[lst];
    		tree[now].cnt++;tree[now].sum+=pos;
    		if(l==r)return;
    		int mid=(l+r)>>1;
    		if(pos<=mid)ins(tree[lst].ls,tree[now].ls,l,mid,pos);
    		else ins(tree[lst].rs,tree[now].rs,mid+1,r,pos);
    	}
    
    	int query(int x,int y,int l,int r,int pos) {
    		if(r<=pos)return tree[y].sum-tree[x].sum;
    		int mid=(l+r)>>1,res=tree[tree[y].ls].sum-tree[tree[x].ls].sum;
    		if(pos<=mid)res=query(tree[x].ls,tree[y].ls,l,mid,pos);
    		else res+=query(tree[x].rs,tree[y].rs,mid+1,r,pos);
    		return res;
    	}
    }T;
    
    int main() {
    	n=read();
    	for(int i=1;i<=n;i++) {
    		a[i]=read();sum+=a[i];
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		T.ins(rt[i-1],rt[i],1,sum,a[i]);
    	m=read();
    	for(int i=1;i<=m;i++) {
    		int l=read(),r=read(),cnt=1;
    		while(cnt<sum) {
    			int tmp=T.query(rt[l-1],rt[r],1,sum,cnt);
    			if(tmp<cnt)break; else cnt=tmp+1;//cnt就是题解里讲的num
    		}
    		printf("%d
    ",cnt);
    	}
    	return 0;
    }
    
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