• bzoj3481: DZY Loves Math III


    考虑枚举x,分情况讨论

    当Q=0时,无论x取什么都有对应的y合法,个数为gcd(x,P)个

    否则对于x有合法的y当且仅当gcd(x,P)|Q,并且数量为gcd(x,P),这个仔细思考还是不难理解的

    ans=sigema(1~P-1)x [gcd(x,P)|Q]*gcd(x,P)

    =sigema(d|gcd(P,Q))d d*(sigema(1~P/d)x [gcd(x,P/d)==1])      (如果Q等于0把d的限制去掉就完事了)

    后面明显是欧拉函数,=sigema(d|gcd(P,Q))d d*phi(P/d)

    然后是一个很类似狄利克雷卷积的形式,当积性函数好了

    那么拆分出来,把每个质因子分开搞,设A为gcd(P,Q)在全局第k个质因子的出现次数,B为P在全局第k个质因子出现的次数

    =product(1~plen)k [sigema(0~A)i pk^i*phi(pk^(B-i))]

    =product(1~plen)k [sigema(0~A)i pk^i* (pk^(B-i)*(pk-1)/pk)]

    =product(1~plen)k [sigema(0~A)i pk^B-1*(pk-1)]

    =product(1~plen)k [sigema(0~A)i pk^B-1*(pk-1)]

    =product(1~plen)k (A+1)*pk^B-1*(pk-1)

    这样就可以快速算完了,但是有一点需要注意,当i==B时,phi(1)不能表示成1*(1-1)/1的形式,要特判一下A==B的情况

    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdlib>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const LL mod=1e9+7;
    LL gcd(LL a,LL b)
    {
        if(a<0)a=-a;
        if(a==0)return b;
        return gcd(b%a,a);
    }
    LL quick_mul(LL A,LL p,LL mo)
    {
        LL ret=0;
        while(p!=0)
        {
            if(p%2==1)ret=(ret+A)%mo;
            A=(A+A)%mo;p/=2;
        }
        return ret;
    }
    LL quick_pow(LL A,LL p,LL mo)
    {
        LL ret=1;
        while(p!=0)
        {
            if(p%2==1)ret=quick_mul(ret,A,mo);
            A=quick_mul(A,A,mo);p/=2;
        }
        return ret;
    }
    
    //-----------------------------------def----------------------------------------------
    
    bool check(LL a,LL t,LL mi,LL n)
    {
        LL d=quick_pow(a,t,n);
        if(d==1||d==n-1)return true;
        while(mi--)
        {
            d=quick_mul(d,d,n);
            if(d==n-1)return true;
        }
        return false;
    }
    int prr[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
    bool miller_rabin(LL n)
    {
        if(n<=1)return false;
        for(int i=0;i<=9;i++)
        {
            if(n==prr[i])return true;
            if(n%prr[i]==0)return false;
        }
        
        LL t=n-1;int mi=0;
        while(t%2==0)t/=2,mi++;
        for(int i=1;i<=20;i++)
        {
            LL a=rand()%(n-1)+1;
            if(!check(a,t,mi,n))return false;
        }
        return true;
    }
    //~~~~~~~~~~~~~~~miller_rabin~~~~~~~~~~~~~~
    
    LL pollard_rho(LL n)
    {
        LL a=rand()%n,b=a,c=rand()%n;
        LL i=1,k=2;
        while(1)
        {
            a=(quick_mul(a,a,n)+c)%n;
            LL d=gcd(b-a,n);
            if(d!=1&&d!=n)return d;
            if(a==b)return n;
            
            i++;
            if(i==k)b=a,k*=2;
        }
    }
    //~~~~~~~~~~~~~~~pollard_rho~~~~~~~~~~~~~~~
    
    int pr;LL prime[110];
    void getprime(LL n)
    {
        if(n==1)return ;
        if(miller_rabin(n)){prime[++pr]=n;return ;}
        
        LL d=n;
        while(d>=n)d=pollard_rho(d);
        
        getprime(d);
        getprime(n/d);
    }
    LL plen,p[1100],tt[1100];LL c[2][1100];
    void merge()
    {
        int i=1,j=1,k=0;
        while(i<=pr&&j<=plen)
        {
                 if(prime[i]<p[j])tt[++k]=prime[i++];
            else if(prime[i]>p[j])tt[++k]=p[j++];
            else tt[++k]=p[j],i++,j++;
        }
        while(i<=pr)tt[++k]=prime[i++];
        while(j<=plen)tt[++k]=p[j++];
        memcpy(p,tt,sizeof(p));plen=k;
    }
    int n;LL s[2][110];
    void getci(int w)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            LL u=s[w][i];
            for(int j=1;j<=plen;j++)
                while(u%p[j]==0)u/=p[j],c[w][j]++;
        }
        if(w==1)for(int j=1;j<=plen;j++)c[w][j]=min(c[0][j],c[1][j]);
    }
    
    //------------------------------------------divi--------------------------------------------------
    
    int main()
    {
        freopen("4.in","r",stdin);
        freopen("a.out","w",stdout);
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&s[0][i]);
            pr=0,getprime(s[0][i]);
            sort(prime+1,prime+pr+1);
            pr=unique(prime+1,prime+pr+1)-prime-1;
            merge();
        }
        bool bk=false;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&s[1][i]); if(s[1][i]==0){bk=true;break;}
            pr=0,getprime(s[1][i]);
            sort(prime+1,prime+pr+1);
            pr=unique(prime+1,prime+pr+1)-prime-1;
            merge();
        }
        if(bk==true)
        {
            getci(0);
            memcpy(c[1],c[0],sizeof(c[1]));
        }
        else getci(0),getci(1);
        
        LL ans=1;
        for(int i=1;i<=plen;i++)
        {
            LL A=c[1][i],B=c[0][i];
            if(A<B)ans=ans*(quick_pow(p[i],B-1,mod)*(p[i]-1)%mod*(A+1)%mod)%mod;
            else ans=ans*( (quick_pow(p[i],B-1,mod)*(p[i]-1)%mod*A%mod+quick_pow(p[i],A,mod))%mod )%mod;
        }
        printf("%lld
    ",ans);
            
        return 0;
    }
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