问题描述 数列定义如下： f（1）= 1，f（2）= 1，f（n）=（A * f（n-1）+ B * f（n-2））mod 7。 给定A，B和n，你要计算f（n）的值。 输入 输入由多个测试用例组成。 每个测试用例在一行（1 <= A，B <= 1000，1 <= n <= 100,000,000）中包含3个整数A，B和n。三个零表示输入结束，此测试用例不进行处理。 输出 对于每个测试用例，在一行上输出f（n）的值。 样例输入 1 1 3 1 2 10 0 0 0 样例输出 2 5
注意这道题n的范围，1≤n≤1000000000，要小心超时超内存的问题。
看到题目直接写往往会忽视很多细节问题，给出公式的题目注意看看有没有规律。
mod是取模的意思，这里可以认为是取余数。
所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。 数学上的记法为： a≡ b(mod d) 可以看出当n<d的时候,所有的n都对d同商,比如时钟上的小时数,都小于12,所以小时数都是模12的同商. 对于同余有三种说法都是等价的,分别为: (1) a和b是模d同余的. (2) 存在某个整数n,使得a=b+nd . (3) d整除a-b. 可以通过换算得出上面三个说法都是正确而且是等价的. 基本定律： 同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示: 1)a≡a(mod d) 2)对称性 a≡b(mod d)→b≡a(mod d) 3)传递性 (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d) 如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则 4)a+b≡x+m （mod d） 5)a-b≡x-m (mod d) 6)a*b≡x*m (mod d ) 7)a/b≡x/m （mod d） 8）a≡b（mod d）则a-b整除d 9）a≡b（mod d）则a^n≡b^n(mod d) 10)如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m） 模运算的运算规则： (a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p （1） (a - b) mod p = (a mod p - b mod p) mod p （2） (a * b) mod p = (a mod p * b mod p) mod p （3） a^b mod p = ((a mod p)^b) mod p （4） 结合率： ((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p （5） ((a*b) mod p * c) mod p = (a * (b*c) mod p) mod p （6） 交换率： (a + b) mod p = (b+a) mod p （7） (a * b) mod p = (b * a) mod p （8） 分配率： ((a +b) mod p * c) mod p = ((a * c) mod p + (b * c) mod p) mod p （9） 重要定理：若a≡b ( mod p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) ( mod p)；（10） 若a≡b ( mod p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) ( mod p)；（11） 若a≡b ( mod p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc ( mod p)； （13） 本文地址：http://blog.csdn.net/a359680405/article/details/41675143
对于公式 f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7，为了防止溢出，改成 f(n) = （A mod 7 * f(n - 1) + B mod 7* f(n - 2)）mod 7
(如果看不懂改写原因就看一下上面的了解内容，或者自己写几个例子验证。这题A和B范围比较小，其实不改也可以。)
f（n）自身是保证在0-6的整数范围内的，同样f（n-1）和f（n-2）只有这七种取值。
f（n）是由f（n-1）和f（n-2）确定的，因为A和B是一个确定的值，对整个公式没有影响。
用映射的思想来看，一对f（n-1）和f（n-2）只能映射一个f（n），
所以f（n）的计算 最多 只有 49种可能，如果你还是理解不了，看下面的表格...
假设A=2,B=1...但是循环周期不是49（这是最糟糕的情况）。
| fn | f(n-1) | |||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| f(n-2) | 0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 |
| 1 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 | |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 0 | |
| 3 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | |
| 4 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | |
| 5 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | |
| 6 | 6 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | |
如果有连续的两项，在前面的数列中出现过，最小循环节就找到了（注意不一定是出现连续两个1，1的时候，即出现f（1）和f（2））
eg：1 1 3 4 1 6 1 3（1和3在前面出现过了，最小循环节就是13416）
找到了最小循环节，代码就容易写出来了。
下面的写法是直接将49个数作为循环节，但是不是最小循环节（周期函数不是有最小正周期嘛）。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 int arr[50]; 4 int main() 5 { 6 int n,a,b; 7 arr[1]=arr[2]=1; 8 while(cin>>a>>b>>n) 9 { 10 if(a==0&&b==0&&n==0) 11 break; 12 int minn=n<50?n:50;//一个小小的优化 13 for(int i=3; i<=minn; i++) 14 { 15 arr[i]=(a*arr[i-1]+b*arr[i-2])%7; 16 } 17 cout<<arr[n%49]<<endl; 18 19 } 20 return 0; 21 }
这个写法比较麻烦，但是也算一种拓展：
1 #include <cstring> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstdlib> 4 using namespace std; 5 6 int rec[60]; 7 8 int main() 9 { 10 int a, b, n; 11 rec[0] = rec[1] = rec[2] = 1; 12 while( scanf( "%d %d %d", &a, &b, &n ), a | b | n ) 13 { 14 int beg, end, flag = 0; 15 for( int i = 3; i <= n && !flag; ++i ) 16 { 17 rec[i] = ( a * rec[i-1] + b * rec[i-2] ) % 7; 18 for( int j = 2; j <= i - 1; ++j ) 19 { 20 if( rec[i] == rec[j] && rec[i-1] == rec[j-1] ) 21 { 22 beg = j, end = i; 23 flag = 1; 24 break; 25 } 26 } 27 } 28 if( flag ) 29 { 30 printf( "%d ", rec[beg+(n-end)%(end-beg)] ); 31 } 32 else 33 printf( "%d ", rec[n] ); 34 } 35 return 0; 36 }