写在前面
这是 CSP-S2 2020 考完后 5ab 写的第一篇文章，学的第一个新算法。
CSP-S2 考完后，5ab 就要朝着省选算法进发，学习省选内容喽。
关于可持久化
可持久化是一种思想，一种通过修改局部，拷贝局部数据的方法来达到多版本访问的目的。
这样说确实不太清楚。难道你就是这么学的？我们来看一个例子。
可持久化数组 & 可持久化线段树
给你一个序列，每一次基于一个历史版本单点修改某个数，或者询问某个数。
暴力做法
我们可以先考虑暴力：
- 先将数组存下来；
- 每一次操作，拷贝数组然后进行修改或者询问。
显而易见，这个操作的复杂度是 (mathcal{O}(nq))，不够优秀。我们得考虑一个更好的做法。
一个小优化
众所周知，遇事不决就分块，我们不妨将这个数组分块。
每一次操作，我们只要记录块内的修改即可。可以有 (mathcal{O}(qsqrt{n})) 的优秀复杂度，可以通过不小的数据。
进一步优化
我们考虑用线段树维护。这是一个很简单的推进——从分块到线段树。
注意到如果是线段树，每一次要拷贝的数据仅仅为一条链，如图：
这个性质极其优美，但是，怎么样维持线段树的形态呢？
我们有一个极其暴力的做法：直接动态开点，然后将没有修改的部分直接指向原部分！
注意到这样的改进使单次修改的复杂度（无论是时间还是空间）都降到了 (mathcal{O}(log n))。实际上，这就是可持久化数组。
当然，我们已经搭建了线段树结构，所以我们也实现了可持久化线段树。
练习
裸模板，直接用可持久化线段树即可。代码
主席树
get 到了可持久化线段树，我们就能够搞定许多以前做不出来的问题。如臭名昭著的区间第 (k) 大。
问题是，给定一个数列 (a)，每一次询问 ([l_i,r_i])，要求出该区间中的第 (k) 大。
形式地说，即若 (left<p_{l_i},p_{l_i+1},cdots,p_{r_i} ight>=left<l_i,l_i+1,cdots,r_i ight>) 且满足 (a_{p_{l_i}}le a_{p_{l_i+1}}lecdotsle a_{p_{r_i}})，给定 (k)，求 (a_{p_{l_i+k-1}})。
当然，在数据比较小的时候可以使用排序法，但那实在是太慢了。我们考虑一种新思路。
注意到区间第 (k) 大就是有 (k-1) 比这个数小。那么我们只要可以快速询问有多少个数比自己小，那么不就能二分了吗？而询问恰恰好是线段树擅长的。
接下来我们引入一个概念，那就是权值线段树。
众所周知，线段树擅长处理区间问题。那么数的区间就是值域，所以权值线段树就是建立在值域上的线段树，当然得离散化。
接下来，我们建一棵权值线段树 (T) 在 ([L,R]) 上，对于节点 (i) 所对应的区间为 ([l_i,r_i])。
考虑如下操作：
- 对于 ([L,R]) 中的每一个数 (x)，在 (T) 的对应位置加上 (1)；
- 查询 ([l_i,r_i]) 的区间和。
那么，操作 (2) 的结果就是 ([L,R]) 的数在 ([l_i,r_i]) 的数量。这样我们就可以愉快地二分了。
说了这么多，好像也并没有什么卵用，这和快排有什么区别呢？
注意到，每一次插入一个数，原序列就只有一个数被改动，那么我们就可以愉快地使用可持久化线段树来维护。
但是，这样我们也只能做到 ([1,r]) 的区间第 (k) 大，距离真正的区间第 (k) 大还有一点距离。
但同时，我们又注意到这些线段树结构相同，而且每一次操作都是加法，那么我们就可以做前缀和！即，让 (T_R) 的每一个节点减去 (T_{L-1}) 的对应节点，那么得到的就是 (T_{[L,R]})。
这就是主席树。（关于为什么要叫主席树，好像是因为发明者 HJT 与当年主席的相同）
不妨试一下模板题？