动手学pytorch-凸优化

优化与深度学习

优化与估计

尽管优化方法可以最小化深度学习中的损失函数值，但本质上优化方法达到的目标与深度学习的目标并不相同。

• 优化方法目标：训练集损失函数值
• 深度学习目标：测试集损失函数值（泛化性）

优化在深度学习中的挑战

1. 局部最小值
2. 鞍点
3. 梯度消失

局部最小值

[f(x) = xcos pi x ]

鞍点

[A=left[egin{array}{cccc}{frac{partial^{2} f}{partial x_{1}^{2}}} & {frac{partial^{2} f}{partial x_{1} partial x_{2}}} & {cdots} & {frac{partial^{2} f}{partial x_{1} partial x_{n}}} \ {frac{partial^{2} f}{partial x_{2} partial x_{1}}} & {frac{partial^{2} f}{partial x_{2}^{2}}} & {cdots} & {frac{partial^{2} f}{partial x_{2} partial x_{n}}} \ {vdots} & {vdots} & {ddots} & {vdots} \ {frac{partial^{2} f}{partial x_{n} partial x_{1}}} & {frac{partial^{2} f}{partial x_{n} partial x_{2}}} & {cdots} & {frac{partial^{2} f}{partial x_{n}^{2}}}end{array} ight] ]

e.g.

梯度消失

凸性 （Convexity）

基础

集合

函数

[lambda f(x)+(1-lambda) fleft(x^{prime} ight) geq fleft(lambda x+(1-lambda) x^{prime} ight) ]

Jensen 不等式

[sum_{i} alpha_{i} fleft(x_{i} ight) geq fleft(sum_{i} alpha_{i} x_{i} ight) ext { and } E_{x}[f(x)] geq fleft(E_{x}[x] ight) ]

---

性质

1. 无局部极小值
2. 与凸集的关系
3. 二阶条件

无局部最小值

证明：假设存在 (x in X) 是局部最小值，则存在全局最小值 (x' in X), 使得 (f(x) > f(x')), 则对 (lambda in(0,1]):

[f(x)>lambda f(x)+(1-lambda) f(x^{prime}) geq f(lambda x+(1-lambda) x^{prime}) ]

与凸集的关系

对于凸函数 (f(x))，定义集合 (S_{b}:={x | x in X ext { and } f(x) leq b})，则集合 (S_b) 为凸集

证明：对于点 (x,x' in S_b), 有 (fleft(lambda x+(1-lambda) x^{prime} ight) leq lambda f(x)+(1-lambda) fleft(x^{prime} ight) leq b), 故 (lambda x+(1-lambda) x^{prime} in S_{b})

(f(x, y)=0.5 x^{2}+cos (2 pi y))

凸函数与二阶导数

(f^{''}(x) ge 0 Longleftrightarrow f(x)) 是凸函数

必要性 ((Leftarrow)):

对于凸函数：

[frac{1}{2} f(x+epsilon)+frac{1}{2} f(x-epsilon) geq fleft(frac{x+epsilon}{2}+frac{x-epsilon}{2} ight)=f(x) ]

故:

[f^{prime prime}(x)=lim _{varepsilon ightarrow 0} frac{frac{f(x+epsilon) - f(x)}{epsilon}-frac{f(x) - f(x-epsilon)}{epsilon}}{epsilon} ]

[f^{prime prime}(x)=lim _{varepsilon ightarrow 0} frac{f(x+epsilon)+f(x-epsilon)-2 f(x)}{epsilon^{2}} geq 0 ]

充分性 ((Rightarrow)):

令 (a < x < b) 为 (f(x)) 上的三个点，由拉格朗日中值定理:

[egin{array}{l}{f(x)-f(a)=(x-a) f^{prime}(alpha) ext { for some } alpha in[a, x] ext { and }} \ {f(b)-f(x)=(b-x) f^{prime}(eta) ext { for some } eta in[x, b]}end{array} ]

根据单调性，有 (f^{prime}(eta) geq f^{prime}(alpha)), 故:

[egin{aligned} f(b)-f(a) &=f(b)-f(x)+f(x)-f(a) \ &=(b-x) f^{prime}(eta)+(x-a) f^{prime}(alpha) \ & geq(b-a) f^{prime}(alpha) end{aligned} ]

限制条件

[egin{array}{l}{underset{mathbf{x}}{operatorname{minimize}} f(mathbf{x})} \ { ext { subject to } c_{i}(mathbf{x}) leq 0 ext { for all } i in{1, ldots, N}}end{array} ]

拉格朗日乘子法

Boyd & Vandenberghe, 2004

[L(mathbf{x}, alpha)=f(mathbf{x})+sum_{i} alpha_{i} c_{i}(mathbf{x}) ext { where } alpha_{i} geq 0 ]

惩罚项

欲使 (c_i(x) leq 0), 将项 (alpha_ic_i(x)) 加入目标函数，如多层感知机中的 (frac{lambda}{2} ||w||^2)

投影

[operatorname{Proj}_{X}(mathbf{x})=underset{mathbf{x}^{prime} in X}{operatorname{argmin}}left|mathbf{x}-mathbf{x}^{prime} ight|_{2} ]