沙漠之王(0/1分数规划+ 最小生成树)

题面

大卫大帝刚刚建立了一个沙漠帝国，为了赢得他的人民的尊重，他决定在全国各地建立渠道，为每个村庄提供水源。

与首都相连的村庄将得到水资源的浇灌。

他希望构建的渠道可以实现单位长度的平均成本降至最低。

换句话说，渠道的总成本和总长度的比值能够达到最小。

他只希望建立必要的渠道，为所有的村庄提供水资源，这意味着每个村庄都有且仅有一条路径连接至首都。

他的工程师对所有村庄的地理位置和高度都做了调查，发现所有渠道必须直接在两个村庄之间水平建造。

由于任意两个村庄的高度均不同，所以每个渠道都需要安装一个垂直的升降机，从而使得水能够上升或下降。

建设渠道的成本只跟升降机的高度有关，换句话说只和渠道连接的两个村庄的高度差有关。

需注意，所有村庄（包括首都）的高度都不同，不同渠道之间不能共享升降机。

输入格式

输入包含多组测试数据。

每组测试数据第一行包含整数N，表示村庄（包括首都）的总数目。

接下来N行，每行包含三个整数x，y，z，描述一个村庄的地理位置，(x,y)为该村庄的位置坐标，z为该村庄的地理高度。

第一个被描述的村庄即为首都。

当输入一行为0时，表示输入终止。

输出格式

每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

结果为一个保留三位小数的实数，表示渠道的总成本和总长度的比值的最小值。

数据范围

2≤N≤1000,
0≤x,y<10000,
0≤z≤10000000

输入样例：

4
0 0 0
0 1 1
1 1 2
1 0 3
0

输出样例：

1.000

题解

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define sqr(n) ((n)*(n))
using namespace std;

const int maxn = 1e3 + 5;
const double eps = 1e-6;

struct node{ int x,y,z; };

int n, v[maxn];
vector<node> ve;
double ans, e[maxn][maxn], dis[maxn];

void prim(double x)
{
    rep (i, 1, n)
    {
        double mi = 2e9;
        int now;
        rep (j, 0, n - 1)
            if(!v[j] && dis[j] < mi) mi = dis[j], now = j;

        v[now] = 1;
        ans += dis[now];
        rep (j, 0, n - 1)
            dis[j] = min(dis[j], abs(ve[now].z - ve[j].z) - x * e[now][j]);
    }

}

bool judge(double x)
{
    rep (i, 0, n - 1) dis[i] = 2e9, v[i] = 0;
    dis[0] = 0; ans = 0;
    prim(x);
    return ans > 0;
}

int main()
{
    while (cin >> n, n)
    {
        vector<node>().swap(ve);

        for (int i = 1, x, y, z; i <= n; ++i)
        {
            cin >> x >> y >> z; 
            ve.emplace_back(node{x, y, z});
        }                      

        rep (i, 0, n - 1)
            rep (j, 0, n - 1)
                e[i][j] = sqrt(0.0 + sqr(ve[i].x - ve[j].x) + sqr(ve[i].y - ve[j].y));

        double l = 0, r = 2e9;
        while(r - l > eps)
        {
            double mid = (l + r) / 2;
            if(judge(mid)) l = mid;
            else r = mid;
        }
        printf("%0.3f
", r);
    }
    return 0;
}