格的相关知识
格的相关定义
1.格
格
是m维欧式空间 Rm上确定的一组线性无关的向量的整数线性组合。格 L的基 B=b1,b2,…bn∈Rm×n，其中的每个分量线性无关。
同一个格可以由不同的格基表示。m 称为格的维数，n称为格的秩。满足 m = n 的格称为满秩的，通常我们只考虑满秩的格。
2.
对于格的任意一组基B，定义基本的平行六面体为：
3.对偶格
格
的对偶格定义为与格
上的向量具有整数内积
的所有向量的集合，即
一个格的对偶格也是一个格，并且如果格
是由基B生成的格，则B*=(BT)-1是对偶格
的一个基，其中矩阵BT是矩阵B的转置矩阵。根据对偶格的对称性，可知
一个格
，它的一组基构成矩阵B，它的行列式
定义为平行六面体Ρ(B)的体积，可通过下列等式求出：
一个格的行列式是一个不变量，与格的基的选取无关。
4.最短非零向量
令
为秩为n的格，格
的最短非零向量的长度表示为
，
也称为一个格的最小距离，是任意两个不同格点的最小距离，等于最短非零格向量的长度：
5. q模格
给定随机矩阵
，其规模为较大的整数n和m，q为大素数，q模格为
个人理解*：
中的向量x={x1,x2,x3,…,xm}，x满足Ax得到的n维向量中的每一个数xi mod q=0。
是m维格。
和
是m维格整数格，而且为对偶格。
高斯分布
定义1：对于任意向量c，x∈Rn和任意s>0，
是以c为中心，参数为s>0的高斯密度函数。通常，当c=0，s=1时省略s和c。
因为
，所有以c为中心，参数s>0的连续的高斯分布可以定义为其概率密度函数
(
)
从该分布中选择的向量与中心c的预期平方距离是
，所以，
可以被看认为是中心在c，半径为
的球体。
定义2： 格
上的离散高斯概率分布
定义如下
格中的困难问题
密码学方案的安全性的一个重要条件是：底层的数学问题是困难的。格问题的经典困难问题有很多，如最短向量问题（SVP）、近似最短向量问题判定版本（GapSVP）、最近向量问题 (CVP)等等。
1996 年，Ajtai 给出了格中困难问题从最坏情况到平均情况的规约证明。密码学中的困难性需要的是在 "平均情况" 下的困难性。Ajtai 的工作使得基于格问题构造的密码方案具有了可证明安全的性质。新的格困难问题中，有几种重要的平均情况困难的问题：SIS、LWE、RLWE 及变种。
最短向量问题(SVP)：给定n维格基B。寻找
格中的非零向量v，使得
，即向量v是格
中最短的向量。
最近向量问题(CVP)：给定n维格基B，目标向量t。寻找格
中的非零向量v，使得向量v与目标向量t的距离最小，把这个最小距离记为
。
最短无关向量组问题(SIVP)：给定n维格基B，有理数γ≥1。寻找格
中的n个线性无关的格向量S，使得
，其中
是S中向量范数的最大值。
小整数解问题(SIS)：给定整数m、n和p，随机选取矩阵A∈Zqn×m和界定参数 β，求解非零整数向量 z∈Zm ，使得 Az = 0 mod q ，且 
。
容错学习问题 ( LWE)：给定均匀随机生成的矩阵 A∈Zqn×m ,s∈Zqn和s∈Zqm服从分布 
， 
。A搜索版本的 LWE 问题（Search LWE）为：给定多组 (Ai,bi)，找到 s，一般在密钥交换中bi作为公钥，s作为私钥，ei是不公开的部分。。定版本的 LWE 问题（Decision LWE）为：将bi和均匀随机生成的向量区分开。
环上容错学习问题 (RLWE)：给定均匀随机生成的多项式 a∈Rq，s∈Rq和 e∈Rq 服从分布
，
。搜索版本的 RLWE 问题 (Search RLWE) 为：给定多组 （ai,bi），找到s。判定版本的 RLWE 问题 (Decision RLWE) 为：将bi和均匀随机生成的向量区分开。
参考文献
[1]张成丽.几类格基密码方案的研究[D].西安电子科技大学,2019.
[2]鹿鹏飞.基于格的后量子密钥交换协议和密钥封装机制[D].山东大学,2020.
[3]许光午,王小云.格的计算和密码学应用[J].中国科学:数学:1-20[2020-09-21 16:51].