hdu1576

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hdu1576

题目概述

要求((A/B)\%9973)，但由于A很大，我们只给出(n(n=A\%9973))(我们给定的A必能被B整除，且(gcd(B,9973) = 1)).

数据的第一行是一个(T)，表示有(T)组数据。
每组数据有两个数(n(0 leq n < 9973))和(B(1 leq B leq 10^9)).

对应每组数据输出((A/B)\%9973).

解题思路

        利用逆元算除法取模的概念题,当然求逆元也可以用费马小定理来做.

扩展欧几里得

        对于一个二元一次方程(ax+by=n, \, a,b,nin Z)当且仅当(gcd(a,b)=n)时方程有整数解.这个方程的解是先找到一个整数解((x_0,y_0)),然后通解:

[egin{cases} x = x_0 + bt \ y = y_0 - at, qquad t in Z end{cases} ]

把通解带入原来的方程得到:

[egin{aligned} ax+by &= a(x_0+bt)+b(y_0-at)\ &= ax_0+by_0 + (abt - bat)\ &= n qquad(ecause ax_0+by_0=n) end{aligned} ]

所以只要求出一个特解原方程的通解就可以求出.

扩展欧几里得对应的代码如下,可以求得方程(ax+by=gcd(a,b))的一个特解((x_0+y_0)).

void extend_gcd(ll a, ll b, ll & x, ll & y) {
    if( b == 0ll){
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_gcd(b, a % b, x, y);
    ll temp = x;
    x = y;
    y = temp - (a / b) * y;
}

逆元

        如果(a pmod m = b pmod m),那么称(a,b)模(n)同余,记做(a equiv bpmod m).(ax equiv b pmod m)成为一元线性同余方程,即(ax-b)是(m)的整数倍,从而(ax-b=my),可以得到(ax+my=b),当(b=gcd(a,m))时可以用扩展欧几里得来解.可以使用逆元来解上面方程的任意情形,设(a')是(a pmod m)的逆元,即(aa'equiv1 pmod m).将上面的等式同时乘以(a'),得到(a'axequiv a'b pmod m),即(xequiv a'b pmod m).

        对于方程(ax equiv1pmod m,)当(gcd(a,m)=1)时,相当于解方程(ax + my = 1.)用前面的扩展欧几里得就可求出一个特解.

ll mod_inverse(ll a, ll m){
    ll x, y;
    extend_gcd(a, m, x, y);
    return ( m + x % m)% m;
}

利用费马小定理求逆元

若(p)为素数,(gcd(a,p) = 1),那么(a^{p-1} equiv 1pmod p).
另外一种形式:对于(ain Z, a^p equiv apmod p)

由上面的费马小定理可以推出方程(ax equiv 1pmod m,gcd(a,m)=1)的解(x = a^{m-1}).利用快速幂取模可以进行计算.

ll fast_exp_mod(ll a, ll b, ll p){
    ll ans = 1;
    while( b ){
        if( b & 1){
            ans = (ans * a) % p;
        }
        b >>= 1;
        a = (a * a) % p;
    }
    return ans;
}

ll mod_inverse(ll a, ll m){
    return fast_exp_mod(a, m - 2, m) % m;
}

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;


const int M = 9973;

ll fast_exp_mod(ll a, ll b, ll p){
    ll ans = 1;
    while( b ){
        if( b & 1){
            ans = (ans * a) % p;
        }
        b >>= 1;
        a = (a * a) % p;
    }
    return ans;
}

void extend_gcd(ll a, ll b, ll & x, ll & y) {
    if( b == 0ll){
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_gcd(b, a % b, x, y);
    ll temp = x;
    x = y;
    y = temp - (a / b) * y;
}

ll mod_inverse(ll a, ll m){
    // ll x, y;
    // extend_gcd(a, m, x, y);
    // return ( m + x % m)% m;
    return fast_exp_mod(a, m - 2, m) % m;
}

int main(int argc, const char** argv) {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    for (int i = 0; i < T; ++i){
        int n, b;
        scanf("%d%d", &n, &b);
        ll ans = mod_inverse(b, M);
        ans = (ans * n) % M;
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}

其它