参考：
[1] : https://blog.csdn.net/corsica6/article/details/81488993
[2] : https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/P4553
说明
- 可行流：一个网络网络中，存在一条流，满足任意点的总流入量等于总流出量（即流量守恒）。
- 边的流量：网络流连边时连的反向边上的flowflowflow值，即为该边流量。（考虑在流过这条边时，在正向边上减去了流量大小的值，而反向边上恰好加上了这个值）。
无源汇上下界可行流
给定 (n) 个点， (m) 条边的网络，求一个可行解，使得边 ((u,v)) 的流量介于 ([B(u,v),C(u,v)]) 之间，并且整个网络满足流量守恒。
设：(inB[u] = sum B(i,u), outB[u] = sum B(u,i), d[u] = inB[u] - outB[u])
新建源汇，S' 向 d>0 的点连边，d<0 的点向 T‘ 连边，容量为相应的d。
在该网络上求最大流，则每条边的流量+下界就是原网络的一个可行流。
有源汇上下界可行流
从T到S连一条下界为0，上届为 +inf 的边，在原网络中，从S到T的流量全部流回去，流量守恒，然后转换成了无源汇的网络，然后求解无源汇上下界可行流即可。
最终T->S 这条边的流量为原图总流量
有源汇上下界最大流
求出可行流之后，再求原残余网络的最大流，之前的可行流再加上残余网络最大流就是原来的最大流
有源汇上下界最小流
求出可行流，然后T->S的边的流量即为可行流大小，再原图残余网络中从T->S 跑最大流，用可行流减去残余网络最大流，就是最小流。
注：原图不包括T->S 的边以及S'和T'所连接的所有边
例题
BZOJ-3698. XWW的难题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define dbg(x...) do { cout << " 33[32;1m" << #x <<" -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << " 33[39;0m" << endl; }
template<class T, class... Ts> void err(const T& arg,const Ts&... args) { cout << arg << " "; err(args...); }
const int N = 250 + 5;
const int M = 1000010;
int head[N], ver[M], edge[M], nxt[M], d[N];
int n, m, s, t, s_, t_, tot, maxflow;
double a[N][N];
queue<int> q;
void add(int x, int y, int z){
ver[++tot] = y, edge[tot] = z, nxt[tot] = head[x], head[x] = tot;
ver[++tot] = x, edge[tot] = 0, nxt[tot] = head[y], head[y] = tot;
}
bool bfs(){
memset(d, 0, sizeof d);
while(q.size())q.pop();
q.push(s);d[s] = 1;
while(q.size()){
int x = q.front();q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
if(edge[i] && !d[ver[i]]){
q.push(ver[i]);
d[ver[i]] = d[x] + 1;
if(ver[i] == t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dinic(int x, int flow){
if(x == t) return flow;
int rest = flow, k;
for(int i=head[x];i && rest; i=nxt[i]){
if(edge[i] && d[ver[i]] == d[x] + 1){
k = dinic(ver[i], min(rest, edge[i]));
if(!k) d[ver[i]] = 0;
edge[i] -= k;
edge[i ^ 1] += k;
rest -= k;
}
}
return flow - rest;
}
void ins(int x, int y, int l, int r){
add(x, y, r-l);
d[x] -= l;
d[y] += l;
}
int main(){
scanf("%d", &n);
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
scanf("%lf", &a[i][j]);
}
}
tot = 1;
s_ = 2 * n + 1, t_ = s_ + 1, s = t_ + 1, t = s + 1;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
ins(s_, i, trunc(a[i][n]), ceil(a[i][n]));
ins(i+n, t_, trunc(a[n][i]), ceil(a[n][i]));
}
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=1;j<n;j++){
ins(i, j+n, trunc(a[i][j]),ceil(a[i][j]));
}
}
int sum = 0;
for(int i=1;i<=t_;i++){
if(d[i] > 0) {
sum += d[i];
add(s, i, d[i]);
} else if (d[i] < 0){
add(i, t, -d[i]);
}
}
// dbg(sum);
add(t_, s_, inf);
while(bfs()) maxflow += dinic(s, inf);
// dbg(sum, maxflow);
if(sum != maxflow) {
puts("NO");
return 0;
}
maxflow = edge[tot];
edge[tot] = edge[tot-1] = 0;
s = s_; t = t_;
while(bfs()) maxflow += dinic(s, inf);
cout << maxflow * 3 << endl;
return 0;
}
P4843 清理雪道
// 有源汇上下界网络流
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define dbg(x...) do { cout << " 33[32;1m" << #x <<" -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << " 33[39;0m" << endl; }
template<class T, class... Ts> void err(const T& arg,const Ts&... args) { cout << arg << " "; err(args...); }
const int N = 100010 + 5;
const int M = 100010;
int head[N], ver[M], nxt[M], edge[M], d[N];
int n, m, s_, t_, s, t, tot, maxflow;
queue<int> q;
void add(int x, int y, int z){
ver[++tot] = y, edge[tot] = z, nxt[tot] = head[x], head[x] = tot;
ver[++tot] = x, edge[tot] = 0, nxt[tot] = head[y], head[y] = tot;
}
bool bfs(){
memset(d, 0, sizeof d);
while(q.size())q.pop();
q.push(s);d[s] = 1;
while(q.size()){
int x = q.front();q.pop();
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
if(edge[i] && !d[ver[i]]){
q.push(ver[i]);
d[ver[i]] = d[x] + 1;
if(ver[i] == t) return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dinic(int x, int flow){
if(x == t) return flow;
int rest = flow, k;
for(int i=head[x];i && rest; i=nxt[i]){
if(edge[i] && d[ver[i]] == d[x] + 1){
k = dinic(ver[i], min(rest, edge[i]));
if(!k) d[ver[i]] = 0;
edge[i] -= k;
edge[i ^ 1] += k;
rest -= k;
}
}
return flow - rest;
}
void ins(int x, int y, int l, int r){
add(x, y, inf);
d[x] -= l;
d[y] += l;
}
int main(){
scanf("%d", &n);
tot = 1;
s_ = 0, t_ = n + 1, s = t_ + 1, t = s + 1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int k,x;scanf("%d", &k);
while(k--){
scanf("%d", &x);
ins(i, x, 1, inf);
}
add(s_, i, inf);
add(i, t_, inf);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(d[i] < 0) add(i, t, -d[i]);
else if(d[i] > 0) add(s, i, d[i]);
}
add(t_, s_, inf);
while(bfs()) maxflow += dinic(s, inf);
int res = edge[tot];
maxflow = 0;
edge[tot] = edge[tot^1] = 0;
s = t_, t = s_;
while(bfs()) maxflow += dinic(s, inf);
//dbg(res, maxflow);
printf("%d
", res - maxflow);
return 0;
}
P4553 80人环游世界
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define dbg(x...) do { cout << " 33[32;1m" << #x <<" -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << " 33[39;0m" << endl; }
template<class T, class... Ts> void err(const T& arg,const Ts&... args) { cout << arg << " "; err(args...); }
const int N = 100000 + 5;
const int M = 1000010;
int head[N], nxt[M], ver[M], edge[M], cost[M];
int d[N], incf[N], pre[N], v[N];
int n, m, tot, s, t, s_, S, T, maxflow, ans;
void add(int x, int y, int z, int c){
ver[++tot] = y, edge[tot] = z, nxt[tot] = head[x], head[x] = tot, cost[tot] = c;
ver[++tot] = x, edge[tot] = 0, nxt[tot] = head[y], head[y] = tot, cost[tot] = -c;
}
inline void ins(int x, int y, int l, int r, int c){
add(x, y, r - l, c);
d[x] -= l; d[y] += l;
}
bool spfa(){
queue<int> q;
memset(d, 0x3f, sizeof d);
memset(v, 0, sizeof v);
q.push(S);
d[S] = 0, v[S] = 1;
incf[S] = m;
while(q.size()){
int x = q.front();q.pop();
v[x] = 0;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
if(!edge[i]) continue;
int y = ver[i];
if(d[y] > d[x] + cost[i]){
d[y] = d[x] + cost[i];
incf[y] = min(incf[x], edge[i]);
pre[y] = i;
if(!v[y]) v[y] = 1, q.push(y);
}
}
}
if(d[T] == inf) return false;
return true;
}
void update(){
int x = T;
while(x != S){
int i = pre[x];
edge[i] -= incf[T];
edge[i^1] += incf[T];
x = ver[i^1];
}
maxflow += incf[T];
ans += d[T] * incf[T];
}
int main(){
tot = 1;
scanf("%d%d", &n, &m);
s = 2 * n + 1, t = s + 1, s_ = t + 1, S = s_ + 1, T = S + 1;
ins(s, s_, m, m ,0);
for(int i=1;i<=n;i++){
ins(s_, i, 0, m, 0);
ins(i+n, t, 0, m, 0);
int x;scanf("%d", &x);
ins(i, i+n, x, x, 0);
}
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
int x;scanf("%d", &x);
if(~x) ins(i+n, j, 0, m, x);
}
}
ins(t, s, 0, m, 0);
for(int i=1;i<=t;i++){
if(d[i] > 0) add(S, i, d[i], 0);
else if(d[i] < 0) add(i, T, -d[i], 0);
}
while(spfa()) update();
cout << ans << endl;
return 0;
}