『笔记』数学概率与期望

数学概率与期望

标签（空格分隔）： 数学

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概率

定义

概率是 (0) 和 (1) 之间的一个数目，表示某个事件发生的可能性或者经常程度

例题

庄家和玩家

有三个骰子，如果至少有一个 (6) 向上，那么就是玩家赢一些钱，反之庄家赢一块钱，询问在分别出现(1,2,3)个 (6) 时，玩家应该赢得多少钱游戏才较为公平

答：一个：一元；两个：三元;三个：五元

生日悖论

有 (n) 个人，按照一年有 (365) 天计算（先不考虑大于(365)人的情况）

1、出现生日相同的概率是多少?

2、同一天生日的人有多少对？

3、有多少人生日相同？

考虑生日相同的人的概率（也就是(1-)生日不相同的概率）

[1-frac{364}{365} imes frac{363}{365} imes…、 imes frac{365-n}{365} ]

考虑生日相同的人有多少对

想一个人相对于其他所有人的情况，那么每个人的生日是占(dfrac{1}{365}),那么一一配对比较以后的总的概率加起来就是(dfrac{n(n-1)}{365}),那么最后得出来的是

[frac{n(n-1)}{365} imes frac{1}{2} ]

因为是无序的，会导致算两遍，所以需要(÷2)

考虑有多少人生日相同，要注意，和上面的题目并不一样，就比如假设生日相同的人一共有 (3) 对，那么如果出现这三个人的生日都相同的情况，那么就是三人三对，如果是简单的用第二问的结论的变两倍正确性不高。

思考一下，首先考虑一个人的情况，概率为 (1) ，再考虑两个人，生日一共有 (365) 种，那么两个人相同的概率即为(1-dfrac{364}{365})

那么对于 (n) 个人，可以的出来的式子就是生日相同的概率为 (1-(dfrac{364}{365})^n)

因为共有 (n) 个人 所以最终得出来的答案即为，生日相同的人一共有

[n imes(1-(frac{364}{365})^n) ]

期望

定义

数学期望就是对于随机事件不同结果的概率加权求平均

数学期望:(E(X)=sum(p(s)* X(s)))

应用

魔球理论

篮球有三种得分方式:篮下进攻和中距离投中都是2分，
而三分球投中得 (3) 分。当然，距离越远投篮命中率一般就
会越低。总之，篮下投篮命中率为55%，中距离投篮命中
率为 (45) %，三分投篮命中率 (35) %，但是得分高。哪种得分
方式更有效率呢？
(E( ext{篮下})=2 imes55)%(+0 imes 45)%(=1.1)；
(E()中距离()=2 imes 45)%(+0 imes55)%(=0.9)；
(E()三分球()=3 imes 35)%(+0 imes 65)%$ 1.05$

抛硬币问题1

有一个硬币，抛 (n) 次，问正面向上的期望是多少？

方法一：组合数学

考虑 (n) 次有 (0) 次向上，有1次向上，到有 (n) 次向上。因为一共是有正反两种情况，所以要有(frac{1}{2})

[E(n)=frac{1}{2^n} imes sum^{n}_{k=0}C^{k}_{n} imes k ]

方法二：概率

每一次正面向上的概率为(dfrac{1}{2}),一共抛了(n)次，那么得出来的期望就是

[frac{n}{2} ]

两种是一样的

抛硬币问题2

有 (1) 个硬币，期望抛多少次才回首次出现连续的 (n) 个正面

显然不知道=_=(自行百度)

抛硬币问题3

连续抛硬币，如果出现正正反, (A) 赢，如果出现反正正则 (B)
赢，问双方胜负的概率是多少？
首先考虑出现的情况

(S_A=zzf+zzzf+zzzzf+……)

(S_B=fzz+ffzz+zfzz+……)

通过枚举抛 (n) 次的所有情况，手模一下，可以发现，(B) 每赢三次，(A) 都会赢一次

那么双方胜负的概率约为 (A:B=1:3)

具体证明

（假设(ZZF)是(A)，(ZFF)是(B)）由于获胜条件第一个是(Z)，可以去掉前面所有的(F)，如果第一个(Z)后是(Z)，那必然(A)赢；如果第一个(Z)后是(F)，则看第三个，第三个是(F)则(B)赢，是(Z)则去掉前两个(ZF)，从第三个(Z)开始，重复推理过程。设(A)赢的概率为(x)，则(x=0.5*1（ZZ)开头，必然(A)赢）(+0.25*0（ZFF)开头，(B)赢）(+0.25x（ZFZ)开头，递归）

抢红包问题1

有(n)个红包，每个红包的钱数各不相同，你打开一个红包，看到钱
数后可以选择收或丢弃。如果收了，你就不能再打开其它的红包了。
如果丢弃，可以在没有打开的红包中重新选择一个打开。你只能收
一个红包，丢弃的红包不能再选。问收到最大的红包的概率是多少？
如何选择才？

首先打开第一个红包作为参考值，首先。四个红包有四分之一的概率，然后，分别考虑每一个是最大的情况

[frac{1}{4}(0+1+frac{1}{2}+frac{1}{3})=frac{11}{24} ]

概率为(45)%

总的公式为：

[P(S)=frac{s}{n}(sum^{n-1}_{k=s}frac{1}{k}) ]

抢红包问题2

有(4)个红包，(1)个红包里有钱，(3)个红包是空的，我知道哪
个红包有钱，而你不知道，你先选中一个红包，我打开另
一个空的红包，此时你可以重新选择一个红包，问你是否
愿意重新选择？

当我们最开始选的时候因为并不知道，所以第一个红包里有钱的概率为(dfrac{1}{4})。

如果第一个红包里有钱，另外又被打开了一个空的红包，那么想打开第二个红包继续选的概率为(dfrac{1}{4} imes dfrac{1}{2})。

另外如果第一个红包包里没有钱，那么为(dfrac{3}{4} imes dfrac{1}{2} imes 1)。

那么总共为 (dfrac{3}{8})

或者直接考虑，四个红包，(A、B、C、D)，你选(A)，如果(A)有钱，重新选，肯定是没钱的；如果A没钱，然后打开没钱的红包(B)，你在(C、D)中选择，有二分之一有钱，总概率是(0.75 imes 0.5=0.375)，大于直接选的(0.25)

两个均为为(dfrac{3}{8})

抢红包问题3

有 (n) 个红包，(a) 个红包里有钱，其它红包是空的，我知道哪
个红包有钱，而你不知道，你先选中一个红包，我打开
(c(c<n-a)) 个空的红包，此时你可以换一个红包，问你选
中红包的概率最大是多少？

1、如果要换

先考虑第一个是有钱的概率，那么为(dfrac{a}{n} imes dfrac{a-1}{n-c-1})

另外假设第一个选了不是红包的，那么为(dfrac{n-a}{n} imes dfrac{a}{n-c-1})

总和起来就是:(dfrac{a(n-1)}{n imes (n-c-1)})

2、如果不换：(dfrac{a}{n})

卡片收集1

每包零食里有一张卡牌，总共有(N (1 <= N <= 20))种
不同的卡牌，得到这N种卡牌的概率相同((1 <= i <= N))。求收集到所有卡牌的期望是多少。

[E(i)=frac{n-i}{n} imes E(i+1)+frac{i}{n}E(i)+1 ]

(E(n)=0),考虑递推求解

卡片收集2

每包零食里有一张卡牌，总共有 (N (1 <= N <= 20)) 种
不同的卡牌，得到这 (N) 种卡牌的概率不同，分别为
(P[i](1 <= i <= N))。求收集到所有卡牌的期望是多少。

1、状压DP

[f(s)=sum f(s|i) imes p_i+(1-sum_{iin s}p(i)) ]

2、容斥原理

$ E1 = 1/P1，E2 = 1/P2，E12((表示肯定买到1或2其中一包的期望)) = 1/(P1+P2)。$

当我们计算(E1)和(E2)的时候，(E12)是重复计算了(2)次，应该减去一次。根据容斥定理可知：

(E = E1 + E2 - E12。)

同理，三张牌的时候：

(E = E1 + E2 + E3 - E12 - E13 - E23 + E123。)

以此类推，当计算期望中的各项的时候，如果该项为奇数项(奇数张卡的期望)，则加上该项。

如果该项为偶数项(2)(偶数项卡的期望)，则减去该项。