半群 称集合$S$和$S$上的一个满足结合律的二元运算构成代数系统是一个半群.
设$S$是半群,元素$1\in S$称为$S$的幺元，如果$1x=x1=x,\forall x\in S$.不难证明如果$S$存在幺元，那么幺元是唯一的.特别的把含有幺元的半群叫做幺半群。
设$S$是幺半群,元素$y\in S$叫做元素$x\in S$的逆元素,如果$xy=yx=1$.不难证明如果$x$存在逆元素,那么逆元素是唯一的。
群 我们把每个元素都可逆的幺半群$G$称作群.特别的如果运算满足交换律,则$G$称作Abel群.
群的例子
1.$\mathbb N$关于加法构成幺半群,其幺元是$0$.其他的$\mathbb{Z,Q,R,C}$均关于加法构成群.
而$\mathbb N$关于乘法构成含幺交换半群，幺元素为$\mathbb Q^*$关于乘法构成Abel群.类似的$\mathbb R^*,\mathbb C^*$等都是关于乘法的Abel群.
2.$n\times m$阶复方阵$M_{n\times m}(\mathbb C)$的全体关于矩阵的加法构成Abel群.全体$n$阶可逆复方阵$\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$关于矩阵的乘法构成非交换群,称作$\mathbb C$上的一般线性群,幺元是$n$阶单位阵$E_n$.
全体$n$阶行列为1的方阵$\mathrm{SL}_n(\mathbb C)$关于乘法也构成非交换群,即$$\mathrm{SL}_n(\mathbb C)=\{A\in M_n(\mathbb C):\det A=1\}$$称为$\mathbb C$上的特殊线性群.全体$n$酉矩阵$SU_{n}(\mathbb C)=\{U\in M_{n}(\mathbb C):UU^H=U^HU=E\}$关于矩阵乘法也构成非交换群,称为$\mathbb C$上的特殊酉群……类似的例子有非常多
3.欧式空间$\mathbb R^2$中保距运动称为欧式运动,显然全体欧式运动构成一个群,且这是一个非交换群.
4.设$n\in \mathbb N^*$,在$\mathbb Z$中定义等价关系:$$a\sim b\Leftrightarrow a\equiv b(\mathrm{mod}~ n)$$易知这是$\mathbb Z$上的一个等价关系,从而把$\mathbb Z$分解成一些等价类:$$\overline{0},\overline{1},\cdots,\overline{n-1}$$的无交并.以$\mathbb Z_n$表示上述$n$个等价类的集合,并且定义加法:$$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$$显然在此运算下$\mathbb Z_n$构成一个Abel群,其幺元是$\overline{0}=\{a:a\equiv 0(\mathrm{mod} ~n)\}$.
但是如果在$ \mathbb Z_n $中定义乘法：$\overline{a}\times\overline{b}=\overline{ab}$,显然$\mathbb Z_n$在此运算下构成交换的幺半群,但是未必每个元素都可逆.容易看出任意的元素$\overline{a}\in\mathbb Z_n$在此乘法运算下可逆当且仅当$(a,n)=1$,即$a,n$互素.由此自然得出$\mathbb Z_{p}$($p$是素数)关于乘法构成Abel群.
定理 设$M$为含幺半群,以$M^*$表示$M$中可逆元素的全体,则$M^*$是群.
由此自然得出$\mathbb Z_n^*=\{\overline{a}:(a,n)=1\}$对于乘法形成Abel群,且其中含有$\varphi(n)$个元素.其中$\varphi(n)$表示从$1$到$n$中与$n$互素的整数的个数,称为Euler函数.
利用这条便可得到初等数论中著名的Euler公式,即若$(a,n)=1$,则$$a^{\varphi(n)}\equiv(\mathrm{mod}~p)$$
群的阶数 设$G$是群,若集合$G$有限,则$G$称为有限群,否则叫无限群.若有限群$G$共有$n$个元素,则称$G$的就阶数为$n$，记作$|G|=n$.
群同态 设$(G_1,\cdot),(G_2,\times)$是两个群,映射$f:G_1\to G_2$叫做群$G_1$到$G_2$的同态,如果$$f(a\cdot b)=f(a)\times f(b),\forall a,b\in G_1$$换言之即同态映射$f$保持群的运算。此外如果$f$为单射、满射,则$f$分别叫做单同态、满同态.如果同态$f$是一一对应,则称$f$为同构.这时$G_1,G_2$称为同构的,记作$G_1\simeq G_2$.我们认为两个同构的群本质上是同一个群，更主要的是研究不同构的群,所以同态才是研究群的主要手段.
自同构 称群$G$到自身的同态(同构)叫群$G$的自同态(自同构).以$\mathrm{Aut}(G)$表示群$G$的自同构全体,不难验证其关于映射的复合运算构成群,幺元是$G$上的恒等自同构(即恒等映射).