HeHe HDU-2879【积性函数推导】

题意

定义 ( ext{He[N]}) 表示满足以下方程的解的个数：

[X^2equiv X(mod N)(Xin [0,N-1]) ]

并且定义 ( ext{HeHe[N]}= ext{He[1]} imes cdots imes ext{He[N]})，对于给定的 (N,M(1leq N leq 10^7,0<Mleq 10^9)) ，求出 ( ext{He[N]} mod M) 的值。

分析

其实打表也可以做，但自己没有看出规律来。只好采用另一种方法：积性函数。

结论(1)：函数 ( ext{He[x]}) 是积性函数，且 ( ext{He[p]=2}(pin Prime))

证明：

对于方程：

[X^2equiv X(mod p) ]

等价于：

[X(X-1)=k imes p(kin Z) ]

因为 (Xin [0,p-1]) ，所以 (X) 和 (X-1) 不可能被 (p) 整除，那么只有 (X(X-1)=0) ，即必然有 (0,1) 两个解。

结论(2)：( ext{He[pq]=4}) （(p,q) 互质）

证明：

对于方程：

[X^2equiv X(mod pq) ]

等价于：

[X(X-1)=k imes pq ]

首先，(X) 必然有 (0,1) 两个解。同时，(X) 可能为 (p) 或者 (q) 的倍数。假设 (X=n imes p) ，有：

[n(np-1)=kq ]

即 (q|n(np-1))。因为 (X=npin[0,pq-1]) ，所以 (n<q) 。因此，(q|(np-1)) ，即 (npequiv 1(mod q)) 。转化为线性方程 (np+kq=1) ，可知必然存在解。因为线性方程组的解 (x=x_0+q·t)，所以存在一个解。当 (q|X) 时，同理，故存在 (4) 个解。

因此，对于 ( ext{He[x]}) ，只要求出其中含有的不同质因子个数 (k) ，有 ( ext{He[x]}=2^k)。对于 ( ext{HeHe[x]}) ，相当于求阶乘，只要 (frac{N}{p_i}) 就可以知道 ([1,N]) 中有多少个数含有质因子 (p_i)，依次累加即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
int prime[N],cnt;
bool vis[N];
void init()
{
    int maxn=1e7;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}
ll power(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    init();
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]<=n;i++)
            ans+=n/prime[i];
        ans=power(2,ans,m);
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}