UVa 1471 防线 set/LIS

题意：给出长度为n的序列，要求你删除掉一段的连续子序列，使得剩下的序列的递增子序列最长
分析：
书上讲解的很详细，摘一段：
最容易想到的算法是枚举j和i（前提是A[j]< A[i]，否则拼不起来），然后分别往左和往 右数一数最远能延伸到哪里。枚举量为O(n2)，而“数一数”的时间复杂度为O(n)，因此总时间 复杂度为O(n3)。
加上一个预处理，就能避免“数一数”这个过程，从而把时间复杂度降为O(n2)。设f(i)为 以第i个元素开头的最长L序列长度，g(i)为以第i个元素结尾的最长L序列长度，则不难在O(n) 时间内求出f(i)和g(i)，然后枚举完j和i之后，最长L序列的长度就是g(j)+f(i)。
还可以做得更好：只枚举i，不枚举j，而是用其他方法快速找一个j< i，使得A[j]< A[i]， 且g(j)尽量大。如何快速找到呢？首先要排除一些肯定不是最优值的j。例如，若有j’满足A[j’] <=A[j]且g(j’)> g(j)，则j肯定不满足条件，因为j’不仅是一个更长的L序列的末尾，而且它更容 易拼成。
这样，把所有“有保留价值”的j按照A[j]从小到大排成一个有序表（根据刚才的结 论，A[j]相同的j只保留一个），则g也会是从小到大排列。那么用二分查找找到满足A[j]< A[i] 的最大的A[j]，则它对应的g(j)也是最大的。
不过这个方法只有当i固定时才有效。实际上每次计算完一个g(i)之后，还要把这个A[i] 加到上述有序表中，并且删除不可能是最优的A[j]。因为这个有序表会动态变化，无法使用 排序加二分查找的办法，而只能使用特殊的数据结构来满足要求。幸运的是，STL中的set就 满足这个要求——set中的元素可以看成是排好序的，而且自带lower_bound和upper_bound函 数，作用和之前讨论过的一样。

#include<cstdio>
#include<set>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+9;
#define a first
#define l second
#define mp make_pair
typedef pair<int,int>pii;

int l[N],r[N],g[N],a[N];
set<pii>s;
int main()
{
    //freopen("f.txt","r",stdin);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n;scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        l[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)l[i]=a[i-1]<a[i]?l[i-1]+1:1;
        r[n]=1;
        for(int i=n-1;i>=1;i--)r[i]=a[i]<a[i+1]?r[i+1]+1:1;
        s.clear();
        s.insert(pii(a[1],l[1]));
        int ans=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            pii t=mp(a[i],l[i]);
            set<pii>::iterator it=s.lower_bound(t);
            bool keep=1;
            if(it!=s.begin()){
                pii last=*(--it);
                ans=max(ans,last.l+r[i]);
                if(last.l>=t.l)keep=0;
            }
            if(keep){
                s.erase(t);
                s.insert(t);
                it=s.find(t);
                ++it;
                while(it!=s.end()&&it->a >t.a&&it->l <=t.l)s.erase(it++);
            }
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

这题还是LIS的变形，用LIS的nlogn的算法就可以解决，思想上和上面的分析一样，LIS稍微变化即可。其中g保存的是最优的a[i]的值（且它的l[i]值是最优的），可以看出g中保存的值是递增的。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+9;

#define INF 0x3f3f3f3f;
int l[N],r[N],g[N],a[N];
int main()
{
    //freopen("f.txt","r",stdin);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n;scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        l[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)l[i]=a[i-1]<a[i]?l[i-1]+1:1;
        r[n]=1;
        for(int i=n-1;i>=1;i--)r[i]=a[i]<a[i+1]?r[i+1]+1:1;
        for(int i=0;i<=n;i++)g[i]=INF;
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int len=lower_bound(g+1,g+1+n,a[i])-(g+1)+r[i];
            ans=max(ans,len);
            g[l[i]]=min(a[i],g[l[i]]);
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}