算法：二分图最大独立集

二分图的最大独立集，又是一个二分图中非常经典的问题。

例题

原创例题

题目描述
给定一个二分图，结点个数分别为n,m，边数为e，求二分图最大匹配数。

输入格式
第一行，n, m, e。
第二至(e + 1)行，每行两个正整数u, v，表示u, v有一条连边。

输出格式

第一行，二分图最大独立集的点数。
第二行，输出一种最大独立集方案的左侧点集，元素与元素之间用一个空格分开。
第三行，输出一种最大独立集方案的右侧点集，元素与元素之间用一个空格分开。

输入输出样例

输入

4 4 7
1 1
1 3
2 2
2 3
2 4
3 2
4 2

输出

5
3 4
1 3 4

说明/提示
1 <= n, m <= 1000, 1 <= e <= n * m。

二分图最大独立集

先说一下什么是二分图的最大独立集：就是在二分图中选尽量多的点，但得保证选出的点中任意两点之间没有边。举个例子，如下图。

红色点就是最大独立集中的点，我们可以看到这些点两两之间都没有边相连。

其实最大独立集就是所有的点扔去最小点覆盖的点，那么这是为什么呢？

因为最小点覆盖的点覆盖了所有的边，即任意一条边上都有一个点在最小点覆盖中，所以只要仍去了这些点，每条边上就只会有一个端点了，自然就是独立集了，而又因为去掉的是最小的点覆盖，那独立集自然就是最大的了。

所以得出结论：最大独立集 = 所有点数 - 最小点覆盖

代码的话跟最小点覆盖的代码几乎一样，时间复杂度也差不多：O(n * m)。

代码

# include <cstdio>
# include <algorithm>
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <vector>

using namespace std;

const int N_MAX = 1000, E_MAX = 1000000;

struct Edge
{
	int to, next;
};

int n, m, e;
vector <int> g[N_MAX + 10];

int opp[N_MAX + 10];
bool vis[N_MAX + 10];

bool vx[N_MAX + 10], vy[N_MAX + 10];

void addEdge(int x, int y)
{
	g[x].push_back(y);
}

bool find(int x)
{
	if (vis[x]) return false;
	vis[x] = true;
	for (int i = 0; i < (int) g[x].size(); i++) {
		int y = g[x][i];
		if (opp[y] == 0 || find(opp[y])) {
			opp[y] = x;
			return true;
		}
	}
	return false;
}

void mark(int x)
{
	if (vx[x]) return;
	vx[x] = true;
	for (int i = 0; i < (int) g[x].size(); i++) {
		int y = g[x][i];
		if (opp[y] && !vy[y]) {
			vy[y] = true;
			mark(opp[y]);
		}
	}
}

int hungary()
{
	memset(opp, 0, sizeof(opp));
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		memset(vis, false, sizeof(vis));
		ans += find(i);
	}
	return ans;
}

int maxIndSet()
{
	int ans = hungary();
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		vis[opp[i]] = true;
	memset(vx, false, sizeof(vx));
	memset(vy, false, sizeof(vy));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (!vis[i]) mark(i);
	return n + m - ans;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &e);
	for (int i = 1; i <= e; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		addEdge(x, y);
	}
	printf("%d
", maxIndSet());
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (vx[i]) printf("%d ", i);
	puts("");
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		if (!vy[i]) printf("%d ", i);
	puts("");
	return 0;
}