Longest Common Substring($LCS$)

Longest Common Substring((LCS))

什么是子序列?

　　子序列就是某一个序列的不连续的一部分.

如图， (abcde)就是图中序列的一个子序列。

公共子序列

　　公共子序列的定义就是两个序列共有的子序列啦. qwq

一些题目就会要求我们求两个序列的最长公共子序列。

如果直接去两两比对的话,复杂度爆炸!

所以介绍(O(n imes m))做法.

(Dp)

我们设(f[i][j])代表从到达(a)串第(i)个位置,(b)串第(j)个位置的最长公共子序列的长度.

如何状态转移？

我们发现,如果要使我们的公共子序列的长度加长,必须要有的条件为(a[i]==b[j])

因此,存在两种情况.

一. (a[i]==a[j])

状态转移方程

[f[i][j]=f[i-1][j-1]+1 ]

这时直接继承上一个情况即可.

二.(a[i]!=a[j])

此时需要考虑的是,我们依旧要进行状态的传递.

当前(f[i][j])需要继承上一状态取到(max)。

那这里的上一状态是什么?

　我们可以知道的是,(i-1)位置与(j)位置已经有解,(i)位置与(j-1)位置已经有解。

如何去做?当前位置继承可以选择的状态也就是上面两种状态.

因此状态转移方程为

[f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]) ]

这样为什么正确?

我们当前位置为(a)串(i)和(b)串(j),最长公共子序列可能是(a)串(i-1)位置与(b)串(j)位置结合,

状态转移方程

[egin{cases}f[i][j]=f[i-1][j-1]+1　(a[i]==a[j]) \f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])　(a[i]!=a[j])\end{cases} ]

由于当前位置(i)的状态只会与上一位置(i-1)有关,因此我们可以滚动数组.

滚动数组就不多BB了 emmm,

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define R register
using namespace std;
char a[5008],b[5008];
int lena,lenb;
int f[2][5008];
int main()
{
	scanf("%s%s",a+1,b+1);
	lena=strlen(a+1);
	lenb=strlen(b+1);
	for(R int i=1;i<=lena;i++)
	{
		int op=i&1;
		for(R int j=1;j<=lenb;j++)
		{
			if(a[i]==b[j])
				f[op][j]=f[op^1][j-1]+1;
			else
				f[op][j]=max(f[op^1][j],f[op][j-1]);
		}
	}
	printf("%d",f[lena&1][lenb]);
	return 0;
}