Longest Common Substring((LCS))
什么是子序列?
子序列就是某一个序列的不连续的一部分.
如图， (abcde)就是图中序列的一个子序列。
公共子序列
公共子序列的定义就是两个序列共有的子序列啦. qwq
一些题目就会要求我们求两个序列的最长公共子序列。
如果直接去两两比对的话,复杂度爆炸!
所以介绍(O(n imes m))做法.
(Dp)
我们设(f[i][j])代表从到达(a)串第(i)个位置,(b)串第(j)个位置的最长公共子序列的长度.
如何状态转移？
我们发现,如果要使我们的公共子序列的长度加长,必须要有的条件为(a[i]==b[j])
因此,存在两种情况.
一. (a[i]==a[j])
状态转移方程
[f[i][j]=f[i-1][j-1]+1
]
这时直接继承上一个情况即可.
二.(a[i]!=a[j])
此时需要考虑的是,我们依旧要进行状态的传递.
当前(f[i][j])需要继承上一状态取到(max)。
那这里的上一状态是什么?
我们可以知道的是,(i-1)位置与(j)位置已经有解,(i)位置与(j-1)位置已经有解。
如何去做?当前位置继承可以选择的状态也就是上面两种状态.
因此状态转移方程为
[f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])
]
这样为什么正确?
我们当前位置为(a)串(i)和(b)串(j),最长公共子序列可能是(a)串(i-1)位置与(b)串(j)位置结合,
状态转移方程
[egin{cases}f[i][j]=f[i-1][j-1]+1 (a[i]==a[j]) \f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]) (a[i]!=a[j])\end{cases}
]
由于当前位置(i)的状态只会与上一位置(i-1)有关,因此我们可以滚动数组.
滚动数组就不多BB了 emmm,
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define R register
using namespace std;
char a[5008],b[5008];
int lena,lenb;
int f[2][5008];
int main()
{
scanf("%s%s",a+1,b+1);
lena=strlen(a+1);
lenb=strlen(b+1);
for(R int i=1;i<=lena;i++)
{
int op=i&1;
for(R int j=1;j<=lenb;j++)
{
if(a[i]==b[j])
f[op][j]=f[op^1][j-1]+1;
else
f[op][j]=max(f[op^1][j],f[op][j-1]);
}
}
printf("%d",f[lena&1][lenb]);
return 0;
}