「LOJ #2102」「TJOI2015」弦论

Description

对于一个给定长度为 (n) 的字符串，求它的第 (k) 小子串。

输入给定一个正整数 (T)，若 (T = 0) 则表示不同位置的相同子串算作一个，(T = 1) 则表示不同位置的相同子串算作多个。

如果无解输出 -1。

Hint

• (1le nle 5 imes 10^5)
• (T in {0, 1})
• (1le kle 10^9)

Solution

(T = 0) 的情况比较简单，参见：「SPOJ SUBLEX」Lexicographical Substring Search

(T = 1) 就相对麻烦得多了，接下来我们一起讨论。

我们设 ( ext{cnt}(x)) 为结点 (x) 的 点权。当 (T = 0) 时，( ext{cnt}(x) = 1)；(T = 1) 时，( ext{cnt}(x)) 就是状态 (x) 所对应的 ( ext{end-pos}) 集合大小，因为其对应的每个串都有 (| ext{end-pos}(i)|) 个。

( ext{end-pos}) 集的大小怎么求呢？这个简单，直接拓扑，倒序向 ( ext{link}) 方向加就行。

但光有 ( ext{cnt}) 还不够，我们还需引入一个 ( ext{sum})。( ext{sum}(x)) 表示 经过 (x) 的子串数量。

然后就是 (k- ext{th}) 问题的套路：假如当前走到点 (x)，从字典序最小的开始，以 ( exttt{a} ightarrow exttt{z}) 的顺序扫去。当扫到字符 (c) 时，设 (y = delta(x, c))，那么：

• ( ext{sum}(y) ge k)：(x) 应该走这条转移，更新答案。(kleftarrow k - ext{cnt}(y))，因为还要减去自己的权值（贡献）。结束对 (c) 的循环。
• ( ext{otherwise})：(kleftarrow k - ext{cnt}(y))，将 (c) 设成下一个字符，尝试下一个转移。

时间复杂度（map 版）：(O(nlog Sigma + | ext{ans}|))，空间复杂度：(O(n))。

Code

/*
 * Author : _Wallace_
 * Source : https://www.cnblogs.com/-Wallace-/
 * Problem : LOJ #2102 TJOI2015 弦论
 */
#include <iostream>
#include <map>
#include <string>

using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;

namespace SAM {
	const int T = N << 1;
	struct Node {
		map<char, int> ch;
		int link, len;
		int sum, cnt;
	} t[T];
	int last, total;
	
	void extend(char c) {
		int p = last, np = last = ++total;
		t[np].len = t[p].len + 1;
		
		for (; p && !t[p].ch.count(c); p = t[p].link)
			t[p].ch[c] = np;
		
		if (!p) {
			t[np].link = 1;
		} else {
			int q = t[p].ch[c];
			if (t[q].len == t[p].len + 1) {
				t[np].link = q;
			} else {
				int nq = ++total;
				t[nq].ch = t[q].ch, t[nq].link = t[q].link;
				t[nq].len = t[p].len + 1;
				t[np].link = t[q].link = nq;
				for (; p && t[p].ch[c] == q; p = t[p].link)
					t[p].ch[c] = nq;
			}
		}
		t[np].cnt = 1;
	}
	
	void init(string& s) {
		total = last = 1;
		for (string::iterator it = s.begin(); it != s.end(); it++)
			extend(*it);
	}
	
	int b[T], c[T];
	void topo_sort() {
		for (register int i = 1; i <= total; i++) ++c[t[i].len];
		for (register int i = 1; i <= total; i++) c[i] += c[i - 1];
		for (register int i = 1; i <= total; i++) b[c[t[i].len]--] = i;
	}
	
	void compute(int type) {
		for (register int i = total; i; i--) {
			int x = b[i];
			if (type == 0) t[x].cnt = 1;
			else t[t[x].link].cnt += t[x].cnt;
		}
		
		t[1].cnt = 0;
		for (register int i = total; i; i--) {
			int x = b[i];
			t[x].sum = t[x].cnt;
			for (map<char, int>::iterator it = t[x].ch.begin(); it != t[x].ch.end(); it++)
				t[x].sum += t[it->second].sum;
		}
	}
	
	string get_kth(int k) {
		int x = 1; string ret = "";
		if (k > t[x].sum) return "-1";
		while (k)
			for (map<char, int>::iterator it = t[x].ch.begin(); it != t[x].ch.end(); it++) {
				int y = it->second;
				if (k <= t[y].sum) {
					k -= t[y].cnt;
					x = y, ret += it->first;
					break;
				} else k -= t[y].sum;
			}
		return ret;
	}
};

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	int t, k;
	string str;
	
	cin >> str >> t >> k;
	SAM::init(str);
	SAM::topo_sort();
	SAM::compute(t);
	
	cout << SAM::get_kth(k) << endl;
	return 0;
}