欧拉函数

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欧拉函数，用φ(n)表示

欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目

可以先在1到n-1中找到与n不互质的数，然后把他们减掉

比如φ(12)

把12质因数分解，12=2*2*3，其实就是得到了2和3两个质因数

然后把2的倍数和3的倍数都删掉

2的倍数：2,4,6,8,10,12

3的倍数：3,6,9,12

本来想直接用12 - 12/2 - 12/3

但是6和12重复减了

所以还要把即是2的倍数又是3的倍数的数加回来 

所以这样写12 - 12/2 - 12/3 + 12/(2*3)

这叫什么，这叫容斥啊，容斥定理听过吧

比如φ(30)，30 = 2*3*5

所以φ(30) = 30 - 30/2 - 30/3 - 30/5 + 30/(2*3) + 30/(2*5) + 30/(3*5) - 30/(2*3*5)

但是容斥写起来好麻烦(￣.￣)

有一种简单的方法

φ(12)   =   12*(1 - 1/2)*(1 - 1/3)                 =   12*(1 - 1/2 - 1/3 + 1/6)

φ(30)   =   30*(1 - 1/2)*(1 - 1/3)*(1 - 1/5)   =   30*(1 - 1/2 - 1/3 - 1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/15 - 1/30)

你看( •̀∀•́ )，拆开后发现它帮你自动帮你容斥好

所以φ(30)的计算方法就是先找30的质因数

分别是2,3,5

然后用30* 1/2 * 2/3 * 4/5就搞定了

顺便一提，phi(1) = 1

int phi(int x){
    int ans = x;
    for (int i=2;i*i<=x;i++){
        if (x % i == 0){
            ans = (ans / i * (i - 1) );
            while (x % i == 0)
                x /= i;
        }
    }
    if (x>1){ // 防止x是质数
        ans = (ans / x * (x-1) );
    }
    return ans;
}

这个的复杂度是O（√n），如果要你求n个数的欧拉函数，复杂度是O（n√n），这也太慢了

有更快的方法

跟埃筛素数差不多

int phi[N];

void Euler(){
    phi[1] = 1;
    for (int i=2;i<N;i++){
        if (!phi[i]){
            for (int j=i;j<N;j+=i){
                if (!phi[j])
                    phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }
}

另一种，比上面更快的方法

需要用到如下性质

p为质数

1. phi(p)=p-1   因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质 

2. 如果i mod p = 0, 那么 phi(i * p)=phi(i) * p         （我不会证明）

3.若i mod p ≠0,  那么 phi( i * p )=phi(i) * ( p-1 )   （我不会证明）

const int N = 1e5 + 10;

int phi[N],prime[N];
int tot;

void Euler(){
    phi[1] = 1;
    for (int i=2;i<N;i++){
        if (!phi[i]){
            phi[i] = i-1;
            prime[tot++] = i;
        }
        for (int j=0;j<tot && 1ll*i*prime[j]<N;j++){
            if (i % prime[j]){
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            }
            else{
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}

最后说下

a^b % p  不等价  (a%p)^(b%p) % p

因为

a^φ(p) ≡ 1 (mod p)

所以

a^b % p  =  (a%p)^(b%φ(p)) % p

（欧拉函数前提是a和p互质）

如果p是质数

直接用这个公式

 我的天哪，我又发现了一个新公式，貌似可以摆脱a和p互质的束缚，让我们来命名为：超欧拉取模进化公式

 

这是历史性的一刻，妈妈再也不用为a和p不互质而担心了= =