Bellman-Ford算法

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stdbool.h>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>

#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define MAXN 1000005
using namespace std;

typedef struct Edge{
    int u,v;
    int cost;
}Edge;

int nodenum,edgenum,start;
Edge edge[MAXN];
int dist[MAXN],pre[MAXN];

bool Bellman_Ford()
{
    for (int i=1;i<=nodenum;i++)
        dist[i] = (i == start)?0:INF;
    for (int i=1;i<nodenum;i++)
    {
        for (int j=1;j<=edgenum;j++)
        {
            if (dist[edge[j].v] > dist[edge[j].u]+edge[j].cost)
            {
                dist[edge[j].v] = dist[edge[j].u]+edge[j].cost;
                pre[edge[j].v] = edge[j].u;
            }
        }
    }
    bool flag = 1;
    for (int i=1;i<=edgenum;i++)
    {
        if (dist[edge[i].v]>dist[edge[i].u]+edge[i].cost)
        {
            flag = 0;
            break;
        }
    }
    return flag;
}

void print_path(int root)
{
    while (root!=pre[root])
    {
        printf("%d->",root);
        root = pre[root];
    }
    if (root == pre[root])
        printf("%d
",root);
}


int main()
{
    freopen("../in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d%d",&nodenum,&edgenum,&start);
    pre[start] = start;
    for (int i=1;i<=edgenum;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].cost);
    }
    if (Bellman_Ford())
    {
        for (int i=1;i<=nodenum;i++)
        {
            printf("%d
",dist[i]);
            printf("Path:");
            print_path(i);
        }
    }
    else
        printf("have negative circle
");
    return 0;
}