程序设计：蒜头君的数轴 (前缀和➕gcd)

今天蒜头君拿到了一个数轴，上边有 nn 个点，但是蒜头君嫌这根数轴不够优美，想要通过加一些点让它变优美，所谓优美是指考虑相邻两个点的距离，最多只有一对点的距离与其它的不同。

蒜头君想知道，他最少需要加多少个点使这个数轴变优美。

输入格式

输入第一行为一个整数 n(1 leq n leq 10^5)n(1≤n≤105)，表示数轴上的点数。

第二行为 nn 个不重复的整数 x_1,x_2,...,x_n(-10^9 leq x_i leq 10^9)x1​,x2​,...,xn​(−109≤xi​≤109)，表示这些点的坐标，点坐标乱序排列。

输出格式

输出一行，为一个整数，表示蒜头君最少需要加多少个点使这个数轴变优美。

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思路：

如果不考虑可以有一个区间不同，让我们求的是所有的区间都要优美。至少需要多少个点？

很简单，我们就去求所有区间长度的gcd  求得的gcd就是最小区间长度

考虑最多只有一对点的距离与其他的不同，即此时我们可以去除一个间隔求出 gcd，那么现在我们要去除哪一个间隔才能使得加点的个数最小呢？

假设某相邻两点之间的距离为 x ，此时我们加点的目标间隔为 gcd，那么显然我们需要在这两点之间增加 x/gcd−1个点。

综上得出结论，我们期望的 gcd 越大越好，因为这样加点的个数会越小。

pos[i]代表去除第 i 个间隔以后的 gcdgcd ，显然它可以通过前缀 gcd 与后缀 gcd 配合求出。

随后我们找出 pos 中的最大值，设为 maxx ，则 maxx 为解的最优间隔，枚举所有相邻两点的距离，求解需要加点的个数。

可能会出现两种情况：

一、某个区间长度不可以分成符合gcd的倍数的形式。那其实就说明我们去除的就是这个区间。 比如 1，4，4，8 ，8     它的maxx = gcd(4,4,8,8) = 4   那么第一个区间长度1 肯定被去除了

二、所有区间都可以分成符合gcd的倍数的形式。那么我们就去除需要分成份数最多的。 比如4，4，4，8，8   它的maxx  = gcd(4,4,4,8,8) = 4  所有区间都可以分成4的倍数，那么我们就去除分成份数最多的区间 8

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <string>
#include <string.h>
#include <set>
#include <queue>
#include <stdbool.h>

#define LL long long
using namespace std;
const int MAXN=100005;

int leftt[MAXN],rightt[MAXN],pos[MAXN];
int a[MAXN],b[MAXN];
int n;

int gcd(int a,int b)
{
    int t;
    while (b)
    {
        t = b;
        b = a%b;
        a = t;
    }
    return a;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("../in.txt","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&n);
    for (int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    sort(a,a+n);
    for (int i=1;i<n;i++)
        b[i] = a[i]-a[i-1];
    leftt[1] = b[1];
    for (int i=2;i<n;i++)
    {
        leftt[i] = gcd(leftt[i-1],b[i]);
    }
    rightt[n-1] = b[n-1];
    for (int i=n-2;i>0;i--)
    {
        rightt[i] = gcd(b[i],rightt[i+1]);
    }
    pos[1] = rightt[2];
    pos[n-1] = leftt[n-2];
    for (int i=2;i<n-1;i++)
        pos[i] = gcd(leftt[i-1],rightt[i+1]);
    int maxx = pos[1];
    for (int i=2;i<n;i++)
    {
        if (pos[i]>maxx)
            maxx = pos[i];
    }
    int ans = 0,ms = 0,cnt = 0;
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        if (b[i]%maxx != 0)
        {
            cnt++;
            continue;
        }
        ans += b[i]/maxx - 1;
        ms = max(ms,b[i]/maxx-1);
    }
    if (!cnt)
        ans -= ms;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}