扩展欧几里得算法

扩展欧几里得extgcd算法 

首先， ax+by = gcd(a, b) 这个公式肯定有解

所以 ax+by = gcd(a, b) * k 也肯定有解 

所以，这个公式我们写作ax+by = d，(gcd(a, b) | d)

gcd(a, b) | d，表示d能整除gcd，这个符号在数学上经常见

 

设 ax1+ by1= gcd(a,b); 

 

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b); 

 

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b); 

 

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2; 

 

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2; 

 

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2); 

 

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2; 

 

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2. 

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

这样我们就可以给出我们的代码了：

void ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y, int &d)
{
    d = a;
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    else
    {
        ex_gcd(b, (a%b), y, x, d);
        y -= (a/b)*x;
    }
}

上面的代码只是求出了方程 ax+by=gcd(a,b) 的解，但是对于解的形式没有限制

扩展：扩展欧几里得求解 ax + by = c 的最小正整数解(x,y)

当c%gcd != 0 则说明这个方程无解！

根据这个式子我们不难看出：

 所以求解最小正整数解 　　(x or y)

这里以求解最小正整数x为例：

不妨设 

于是我们就可以得到最小正整数的解

运用ex_gcd的时候，因为a,b,c可能为负值，即我们的t可能会为负数

这个时候我们就要让

同理如果求最小正整数的解y

就让t = a/gcd(a,b)

　　y = (y1 % t + t) % t

#include<iostream>
using namespace std;

long long int exgcd(long long int a,long long int b,long long int &x,long long int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    long long int gcd = exgcd(b,(a%b),y,x);
    y -= (a/b)*x;
    return gcd;
}

int main()
{
    long long int x,y,n,m,l,a,b,c,gcd;
    while(cin>>x>>y>>m>>n>>l)
    {
        a=n-m;
        b=l;
        c=x-y;
        gcd=exgcd(a,b,x,y);
        if(c%gcd!=0)
            cout<<"Impossible"<<endl;
        else
        {
            long long int t = b/gcd;
            x*=(c/gcd);
            if (t<0)
                t=-t;
            x=(x%t+t)%t;
            cout<<x<<endl;
        }
    }
    return 0;
}