多元函数

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多元函数吧,本质上也是函数。要研究的特性还是那三种！

1连续

2可导

3可积

但是多元函数的

1平面点集 (定义域)

其实就是多元函数的定义域,知道怎么表示就好啦！

E={ (x,y) | （x,y)具有某种性质}

C={(x,y) | x²+y² < r² }表示半径为 r 的圆不包括

邻域

领域说得好听 其实就是个没有边界的圆。一个点(x,y)的邻域就是以它为中心的圆。

但是这个圆是变化的 半径是不确定的。只知道是一个正数 e。去心邻域就是这个圆去掉(x,y)圆心!

而关于内点 外点 边界点 聚点也好说！就是有一个区域E 和一个点P 和该点的邻域U(p,e)!

1 内点就是 U(P,e)全在E里

2 外点就是 U(P,e)都在E外

3 边界点是 U(p,e)有一部分在E里一部分在E外

4 聚点就是 去心U(p,e) e任意 U(p,e)总是有一部分在E里一部分不在!

还有关于开集 闭集 联通集 区域 闭区域 有界集 无界集先不说了！太杂乱了

而多元函数也没有什么好说的，和一元的也没有什么区别就是定义域多了 ！

稍微提一下二元函数的值就像一张曲面！

接下来说一点激动人心的东西-多元函数的极限(二重极限):

其实就是 总是存在一个正数E

E 是P(x,y)到P0(x0,y0)的距离 使得  | f(x,y)-A |<e 

(ps:这里的e是任意的正数   E^2 可以写成  (x-x0)^2+(y-y0)^2  )

 例子：

证明 f(x,y)=(x²+y²）sin(1/x²+y²) 求证 lim(x,y)->(0,0) f(x,y)=0

要想证明 lim(x,y)->(0,0) f(x,y)=0 成立。就得证明 |f(x,y）- 0|<e 其中e是任意的

而这个|f(x,y）- 0|<e 又可以化成   | (x²+y²）sin(1/x²+y²)-0|<e

而我们的初始条件是 p(x,y) 属于 D交上取心U( (0,0), E)  E是总是存在的正数。

即 √(x²+y²）<E   令E=√e 

又因为   | (x²+y²）sin(1/x²+y²)-0|< (x²+y²）< E²=e

就证明成功了！

还有连续性：

当lim(x,y)->(ｘ0,ｙ0) f(x,y)＝ f(x0,y0)时

f(x,y) 在该点连续!

举个例子: f(x,y)=sinx 证明之在R^2上的连续性 设p(x0,y0)

已知在 存在E |x-x0|<E  有 |sinx - sinx0|<e  e是任意正数

假如 存在E  √(|x-x0|²+|y-y0|²) < E

则   |x-x0| < √(|x-x0|²+|y-y0|²) < E

则 |sinx-sinx0|<e

则 | f(x,y)-f(x0,y0) |< e 这证明了 f(x0,yo) 是f(x,y) 在(x,y) -> (x0,y0)的极限

也说明 f(x,y) 在(x0,y0)连续！ 又因为(x0,y0)在 R^2上。所以f(x,y)连续！

做几道题目：

求二元函数极限  lim(x,y)->(1,0) ln(x+e^y)/√(x²+y²)