多项式除法
(参考Miskcoo's Space)
(n)次多项式 A(x),(m)次多项式 B(x),要求出两个多项式 (D(x)),(R(x)),满足
(A(x)=D(x)B(x)+R(x))
并且(degD<=n-m,deg<m)
定义 (A^{R}(x)=x^{n}A(frac{1}{x})),也就是把(A(x))的系数翻转
对于式子 (A(x)=D(x)B(x)+R(x)),我们用(frac{1}{x})替换掉(x),然后两边同时( imes x^{n}),得到
(x^{n}A(frac{1}{x})=x^{n-m}D(frac{1}{x})x^{m}B(frac{1}{x})+x^{n-m+1}x^{m-1}R(frac{1}{x}))
(A^{R}(x)=D^{R}(x)B^{R}(x)+x^{n-m+1}R^{R}(x))
(D^{R}(x))的最高次数是(n-m),(x^{n-m+1}R^{R}(x))的最低次数是(n-m+1)
所以我们把上面的的式子放到 (\% x^{n-m+1}) 意义下,(R(x))的影响就被消除了
所以现在式子变成了(A^{R}(x)=D^{R}(x)B^{R}(x)) ((\% x^{n-m+1}))
求(B^{R}(x))的逆元( imes A^{R}(x))得到(D^{R}(x))
然后翻转过来得到(D(x)),(R(x)=A(x)-D(x)B(x)),就都求出来了
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=400009;
const int mm=998244353;
long long Ksm(long long a,int p){
long long ret=1;
for(;p;p>>=1,a=a*a%mm){
if(p&1)ret=ret*a%mm;
}
return ret;
}
int rev[maxn];
void NTT(long long *arr,int n,int f){
int b=0;
for(int len=1;len<n;len<<=1)++b;
for(int i=0;i<n;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(b-1));
for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(arr[i],arr[rev[i]]);
for(int k=1;k<n;k<<=1){
int p=k+k;
long long wn=Ksm(3LL,(mm-1)/p);
if(f==-1)wn=Ksm(wn,mm-2);
for(int i=0;i<n;i+=p){
long long w=1;
for(int j=0;j<k;++j,w=w*wn%mm){
long long x=arr[i+j],y=arr[i+j+k]*w%mm;
arr[i+j]=(x+y)%mm;
arr[i+j+k]=(x-y+mm)%mm;
}
}
}
if(f==-1){
long long inv=Ksm(n*1LL,mm-2);
for(int i=0;i<n;++i)arr[i]=arr[i]*inv%mm;
}
}
long long A[maxn],B[maxn],C[maxn];
void DivCon(int dg){
if(dg==1){
B[0]=Ksm(A[0],mm-2);
return;
}
DivCon((dg+1)>>1);
int len=1;
for(len=1;len<(dg<<1);len<<=1);
for(int i=0;i<dg;++i)C[i]=A[i];
for(int i=dg;i<len;++i)C[i]=0;
NTT(B,len,1);
NTT(C,len,1);
for(int i=0;i<len;++i)B[i]=B[i]*(2-B[i]*C[i]%mm+mm)%mm;
NTT(B,len,-1);
for(int i=dg;i<len;++i)B[i]=0;
}
int n,m;
long long F[maxn],G[maxn];
long long Q[maxn],R[maxn];
long long D[maxn];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0;i<=n;++i)scanf("%lld",&F[i]);
for(int i=0;i<=m;++i)scanf("%lld",&G[i]);
int len=0;
for(len=1;len<=(n-m+1)*2;len<<=1);
for(int i=0;i<=m;++i)A[i]=G[m-i];
DivCon(n-m+1);
for(int i=0;i<n-m+1;++i)D[i]=F[n-i];
NTT(B,len,1);
NTT(D,len,1);
for(int i=0;i<len;++i)D[i]=B[i]*D[i]%mm;
NTT(D,len,-1);
for(int i=0;i<=n-m;++i)Q[i]=D[n-m-i];
for(int i=0;i<=n-m;++i)printf("%lld ",Q[i]);
printf("
");
memset(D,0,sizeof(D));
for(len=1;len<=n;len<<=1);
NTT(G,len,1);
NTT(Q,len,1);
for(int i=0;i<len;++i)D[i]=G[i]*Q[i]%mm;
NTT(D,len,-1);
for(int i=0;i<m;++i)R[i]=(F[i]-D[i]+mm)%mm;
for(int i=0;i<m;++i)printf("%lld ",R[i]);
printf("
");
return 0;
}
坑:不知道为什么一定存在这样的Q(x)和R(x)