令(f_n)表示(n)个点的二叉树个数;(g_n)表示(n)个点的所有(f_n)棵二叉树的叶节点总数。
我们发现一个规律:(g_n=nf_{n-1})
证明:
对于每棵(n)个点的二叉树,如果里面有(k)个叶节点,那么我们分别把这(k)个叶子删去会得到(k)棵(n-1)个点的二叉树,那么一颗(k)个叶子节点的树对应(k)棵(n-1)的树
而每一颗(n-1)的树有(n)个地方可以挂叶子。
(f_n=sum_{i=1}^{n-1}f_if_{n-1-i})
(f_1=1)
可以发现(f_n)是卡特兰数
带入公式可以得到(Ans=frac{n(n+1)}{2(2n−1)})