背包问题总结

背包问题是一个np问题：

一般题意为：

　　存在n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，现在有一个包，承重限制为weight，现在让你从n件物品中，选择一些物品装入背包中，在不超重的前提下，使得背包中所装物品的总价值最大。

　　由于每件物品【应该是每种物品】存在着两种情况，一种是，每种物品唯有一件，这种情况称为0-1背包问题；

　　另一种是，每种物品有无数件，这种情况称为完全背包问题。

　　

　　0-1背包问题：

　　 0-1背包问题存在两种情况，即，对于第i种物品，你只有选择或者不选择两种情况。

　　（1）使用动态规划来解答：　　　　

　　　　　　考虑对第i件物品的选择策略，有两种策略：
　　　　　　①不放第i件物品，那么问题转化为前i-1件物品恰好装入容量为weight的背包中所能获得的最大价值，也即dp[i-1][weight]。【也就是整个背包重量用来装前i-1件物品】
　　　　　　②放第i件物品，那么问题转化为前i-1件物品恰好装入容量为weight-w[i]的背包中所能获得的最大价值，也即dp[i-1][weight-w[i]]+c[i]。【也就是前i-1件物品只能装到重量的v-w[i]】

　　　　　　即选择物品和不选择物品这两种情况而已【weight为当前剩余的背包体积】

 　　　　　　状态转移方程：

　　　　　　　　dp[i][u] = max{dp[i-1][u], dp[i-1][u-w[i]] + v[i]}  (1<=i<=n.   w[i]<=u<=weight)

　　　　　　核心代码为：　　　　　　　　

for(int i=1; i<n;++i) //从1开始，0为初始边界
    for(int u=w[i];u<=weight;++v)//正序枚举u
        dp[i][u] = max(dp[i-1][u], dp[i-1][u-w[i]] + c[i]);

　　　　　　当然，为了缩小空间复杂度，我们也可以用一维数组求解，不过，u的遍历就要逆序遍历了　　　

　　　　　　状态转移方程：

　　　　　　　　dp[u] = max(dp[u], dp[u-w[i]]+v[i]);    1<=i<=n,  w[i]<=v<=weight

for(int i=0; i<=n; ++i)
    for(int u=weight; u>=w[i]; --u)//逆序枚举
        dp[u] = max(dp[u], dp[u-w[i]]+v[i]);

　　　　（2）使用DFS来求解：

　　　　　　很简单，即分两条路进行递归　　　　　　

void DFS(int index, int sumW, int sumV)
{
    if(sumW>weight)    
        return;
    maxV = max(maxV, sumV);
    for(int i=index; i<n; ++i)
    {
        DFS(index+1, sumW, sumV);//不选择index
        DFS(index+1, sumW+w[index], sumV+v[index]);//选择index
    }
}

　　

　　完全背包问题：

　　　　（1）使用动态规划求解

　　　　　　二维数组：

　　　　　　　　状态转移方程：

　　　　　　　　dp[i][u] = max{dp[i-1][u], dp[i][u-w[i]] + v[i]};     1<=i<=n,  w[i]<=u<=weight

　　　　　　　　边界：

　　　　　　　　dp[0][u] = 0  0<=v<=u

　　　　　　　　

for(int i=1; i<n;++i) //从1开始，0为初始边界
     for(int u=w[i];u<=weight;++v)//正序枚举u
         dp[i][u] = max(dp[i-1][u], dp[i][u-w[i]] + c[i]);

　　　　　　一维数组：

　　　　　　　　状态转移方程：

　　　　　　　　dp[u] = max{dp[u], dp[u-w[i]] + v[i]}    1<=i<=n,  w[i]<=u<=weight　　　　　　　

　　　　　　　　边界：

　　　　　　　　dp[u] = 0   0<=u<=weight

　　　　　　　

for(int i=1; i<=n; ++i)
    for(int u=weight; u>=w[i]; --u)
        dp[u] = max(dp[u], dp[u-w[i]]+v[i])

　　　　

　　　　使用DFS求解

　　　　

void DFS(int index, int sumV, int sumW)
{
    if (sumW > weight)
        return;
    if (sumV> maxV)
        maxV = sumV;
    for (int i = index; i < n; ++i)
    {
        DFS(i + 1, sumV + v[index], sumW + w[index]); //选这件物品 然后继续选这一件 
        DFS(i + 1, sumV + v[index], sumW + w[index]); //选这件物品 然后选下一件 
        DFS(i + 1, sumV, sumW); //不选这件物品 
    }
}