• fail树


    前置技能:AC自动机

    假设我们有了一个AC自动机,然后在上面进行字符串匹配。

    image

    上面是一个有四个字符串的AC自动机(abcde、aacdf、cdf、cde),虚线是fail指针,实线是转移。

    这是上一次讲AC自动机的时候的匹配代码:

    int match(char* s)
    {
        int cur=rot,ans=0;
        for(int i=0;s[i];i++)
        {
            int c=s[i]-'a'; cur=ch[cur][c];
            for(int f=cur;f!=rot;f=fail[f])
            ans+=cnt[f], cnt[f]=0;
        }
        return ans;
    }

    出题人嘿嘿一笑,给了你一个“aaaaaaaaaaaaaaaaaaa”。这样的字符串fail链长度为O(n)的,这就很尴尬了。

    我们发现,如果我们把每个x与fail[x]连边,好像形成了一个树结构(fail[x]是x的父节点)。

    image

    我们就是要查询一个点到根路径上的cnt之和!我们只要dfs一下预处理出来就行了。

    我们来分析一下这个树结构是什么东西。

    首先,这棵树是在一个trie的基础上产生的,所以这棵树上的每个点都是一个字符串的前缀,而且每个字符串的每个前缀在这棵树上都对应着一个点。

    其次,由于fail指针,每个点父节点的字符串都是这个点字符串的后缀,并且树上没有更长的它的后缀。

    例1 bzoj3172 单词

    给出n个字符串,询问每个字符串在所有字符串中的出现次数之和。

    在建ac自动机的时候,我们把经过的那条链的cnt值全部+1,那么我们就是要查询子树和。

    为什么?例如有一个串abcde,匹配了123abcde123,那么AC自动机上123abcde就会在abcde的子树中。

    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    #include <string.h>
    #include <time.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <string>
    #include <bitset>
    #include <vector>
    #include <set>
    #include <map>
    #include <queue>
    #include <algorithm>
    #include <sstream>
    #include <stack>
    #include <iomanip>
    using namespace std;
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    typedef pair<int,int> pii;
    typedef long long ll;
    typedef double ld;
    typedef vector<int> vi;
    #define fi first
    #define se second
    #define fe first
    #define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
    #define Edg int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ];void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
    #define Edgc int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ],vc[SZ];void ad_de(int a,int b,int c){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;vc[M]=c;}void adde(int a,int b,int c){ad_de(a,b,c);ad_de(b,a,c);}
    #define es(x,e) (int e=fst[x];e;e=nxt[e])
    #define esb(x,e,b) (int e=fst[x],b=vb[e];e;e=nxt[e],b=vb[e])
    #define VIZ {printf("digraph G{
    "); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) printf("%d->%d;
    ",i,vb[e]); puts("}");}
    #define VIZ2 {printf("graph G{
    "); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) if(vb[e]>=i)printf("%d--%d;
    ",i,vb[e]); puts("}");}
    using namespace std;
    #define SZ 1000099
    int rot=1,ch[SZ][27],fail[SZ],e=1;
    ll cnt[SZ];
    int M=0,fst[SZ],vb[SZ+SZ],nxt[SZ+SZ];
    void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}
    void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
    int insert(char* s)
    {
        int cur=rot;
        for(int i=0;s[i];i++)
        {
            int c=s[i]-'a';
            if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=++e;
            cur=ch[cur][c]; ++cnt[cur];
        }
        return cur;
    }
    int qs[SZ],h=0,t=0;
    void bfail()
    {
        h=t=0; fail[rot]=rot;
        for(int i=0;i<26;i++)
        {
            if(!ch[rot][i]) 
            {
                ch[rot][i]=rot; continue;
            }
            fail[ch[rot][i]]=rot;
            qs[t++]=ch[rot][i];
        }
        while(h!=t)
        {
            int cur=qs[h++];
            for(int c=0;c<26;c++)
            {
                if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=ch[fail[cur]][c];
                else
                {
                    fail[ch[cur][c]]=ch[fail[cur]][c];
                    qs[t++]=ch[cur][c];
                }
            }
        }
    }
    int n,T,orz[SZ];
    char str[SZ];
    void dfs(int x,int f=0)
    {
        for esb(x,e,b)
        {
            if(b==f) continue;
            dfs(b,x); cnt[x]+=cnt[b];
        }
    }
    int main()
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%s",str);
            orz[i]=insert(str);
        }
        bfail();
        for(int i=2;i<=e;i++)
            adde(i,fail[i]);
        dfs(1);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%lld
    ",cnt[orz[i]]);
    }

    例2 bzoj2434 阿狸的打字机

    有一个打字机,上面有一个可以容纳字符串的凹槽。

    打字机上有26个英文字母和'B'、'P'。输入字母,打字机的一个凹槽中会加入这个字母。按下'B',打字机凹槽中会删掉最后一个字母。按下'P',打字机会在纸上打印出凹槽中现有的所有字母并换行。按一下印有'B'的按键,打字机凹槽中最后一个字母会消失。

    有m次询问,每次询问第x个打印的字符串在第y个打印的字符串中出现了多少次。

    我们可以发现B就相当于回到trie上的父节点,P就相当于记录一下这个节点编号。

    我们建出AC自动机和fail树。“第x个打印的字符串在第y个打印的字符串中出现了多少次”,如果树中只有第y个字符串那就是要统计x字符串这个点的子树和。

    那么我们可以重新进行一次建树一样的操作,等到当前字符串为“第y个字符串”时再处理询问。我们只要在fail树上用dfs序+树状数组维护就行了。

    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    #include <string.h>
    #include <time.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <string>
    #include <bitset>
    #include <vector>
    #include <set>
    #include <map>
    #include <queue>
    #include <algorithm>
    #include <sstream>
    #include <stack>
    #include <iomanip>
    using namespace std;
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    typedef pair<int,int> pii;
    typedef long long ll;
    typedef double ld;
    typedef vector<int> vi;
    #define fi first
    #define se second
    #define fe first
    #define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
    #define Edg int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ];void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
    #define Edgc int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ],vc[SZ];void ad_de(int a,int b,int c){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;vc[M]=c;}void adde(int a,int b,int c){ad_de(a,b,c);ad_de(b,a,c);}
    #define es(x,e) (int e=fst[x];e;e=nxt[e])
    #define esb(x,e,b) (int e=fst[x],b=vb[e];e;e=nxt[e],b=vb[e])
    #define VIZ {printf("digraph G{
    "); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) printf("%d->%d;
    ",i,vb[e]); puts("}");}
    #define VIZ2 {printf("graph G{
    "); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) if(vb[e]>=i)printf("%d--%d;
    ",i,vb[e]); puts("}");}
    using namespace std;
    #define SZ 233333
    int rot=1,ch[SZ][27],fail[SZ],fa[SZ],e=1;
    int M=0,fst[SZ],vb[SZ+SZ],nxt[SZ+SZ];
    void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}
    void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
    char str[SZ];
    int al(int& s) {if(!s) s=++e; return s;}
    int n,rp[SZ];
    void pre(char* s)
    {
        int cur=rot;
        for(int i=0;s[i];i++)
        {
            if(s[i]=='B') cur=fa[cur];
            else if(s[i]=='P') rp[++n]=cur;
            else
            {
                char c=s[i]-'a';
                int nx=al(ch[cur][c]);
                fa[nx]=cur; cur=nx;
            }
        }
    }
    int qs[SZ],h=0,t=0;
    void bfail()
    {
        h=t=0; fail[rot]=rot;
        for(int i=0;i<26;i++)
        {
            if(!ch[rot][i]) 
            {
                ch[rot][i]=rot; continue;
            }
            fail[ch[rot][i]]=rot;
            qs[t++]=ch[rot][i];
        }
        while(h!=t)
        {
            int cur=qs[h++];
            for(int c=0;c<26;c++)
            {
                if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=ch[fail[cur]][c];
                else
                {
                    fail[ch[cur][c]]=ch[fail[cur]][c];
                    qs[t++]=ch[cur][c];
                }
            }
        }
        for(int i=2;i<=e;i++) adde(i,fail[i]);
    }
    int dfn[SZ],D=0,ls[SZ];
    void dfs(int x,int f=0)
    {
        dfn[x]=++D;
        for esb(x,e,b)
        {
            if(b==f) continue;
            dfs(b,x);
        }
        ls[x]=D;
    }
    int ss[SZ];
    int sum(int x)
    {
        int ans=0;
        for(;x>=1;x-=x&-x) ans+=ss[x];
        return ans;
    }
    void edt(int x,int y)
    {
        for(;x<=D;x+=x&-x) ss[x]+=y;
    }
    int m,qa[SZ],qb[SZ],nq[SZ],fq[SZ],anss[SZ];
    int main()
    {
        scanf("%s",str); pre(str); bfail();
        scanf("%d",&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",qa+i,qb+i);
            nq[i]=fq[qb[i]]; fq[qb[i]]=i;
        }
        dfs(rot);
        int cur=rot,ci=0;
        for(int i=0;str[i];i++)
        {
            if(str[i]=='B') edt(dfn[cur],-1), cur=fa[cur];
            else if(str[i]=='P')
            {
                ++ci;
                for(int q=fq[ci];q;q=nq[q])
                    anss[q]=sum(ls[rp[qa[q]]])-sum(dfn[rp[qa[q]]]-1);
            }
            else
            {
                char c=str[i]-'a';
                int nx=ch[cur][c];
                fa[nx]=cur; cur=nx;
                edt(dfn[cur],1);
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d
    ",anss[i]);
    }

    例3 bzoj3881 Divljak

    Alice有n个字符串s1...sn,Bob有一个字符串集合,一开始集合是空的。

    若干个操作,每个操作是往集合里添加一个字符串或者给定x,查询集合中有多少个字符串包含sx。

    注意这里要求的是有多少个包含,而不是出现了几次。

    image

    例如ababab和ab,如果算子树和的话就会被多算一次。

    我们考虑上一题我们实际上干的事情是对于每个前缀对应的点,把根到这个点的路径全部+1。

    那为了不重复统计,我们只要保证没有点被多次+1就行了。

    上一题我们转化为了子树和,那么这一题转化为子树和只要在每个重复的lca处-1就行了,具体实现就类似虚树那样用一个栈来维护。

    好像把虚树的板子抄下来就过了

    #include <iostream>
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    #include <string.h>
    #include <time.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <string>
    #include <bitset>
    #include <vector>
    #include <set>
    #include <map>
    #include <queue>
    #include <algorithm>
    #include <sstream>
    #include <stack>
    #include <iomanip>
    using namespace std;
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    typedef pair<int,int> pii;
    typedef long long ll;
    typedef double ld;
    typedef vector<int> vi;
    #define fi first
    #define se second
    #define fe first
    #define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
    #define Edg int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ];void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
    #define Edgc int M=0,fst[SZ],vb[SZ],nxt[SZ],vc[SZ];void ad_de(int a,int b,int c){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;vc[M]=c;}void adde(int a,int b,int c){ad_de(a,b,c);ad_de(b,a,c);}
    #define es(x,e) (int e=fst[x];e;e=nxt[e])
    #define esb(x,e,b) (int e=fst[x],b=vb[e];e;e=nxt[e],b=vb[e])
    #define VIZ {printf("digraph G{
    "); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) printf("%d->%d;
    ",i,vb[e]); puts("}");}
    #define VIZ2 {printf("graph G{
    "); for(int i=1;i<=n;i++) for es(i,e) if(vb[e]>=i)printf("%d--%d;
    ",i,vb[e]); puts("}");}
    using namespace std;
    #define SZ 2000099
    int rot=1,ch[SZ][27],fail[SZ],e=1;
    int M=0,fst[SZ],vb[SZ+SZ],nxt[SZ+SZ];
    void ad_de(int a,int b){++M;nxt[M]=fst[a];fst[a]=M;vb[M]=b;}
    void adde(int a,int b){ad_de(a,b);ad_de(b,a);}
    int insert(char* s)
    {
        int cur=rot;
        for(int i=0;s[i];i++)
        {
            int c=s[i]-'a';
            if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=++e;
            cur=ch[cur][c];
        }
        return cur;
    }
    int qs[SZ],h=0,t=0;
    void bfail()
    {
        h=t=0; fail[rot]=rot;
        for(int i=0;i<26;i++)
        {
            if(!ch[rot][i]) 
            {
                ch[rot][i]=rot; continue;
            }
            fail[ch[rot][i]]=rot;
            qs[t++]=ch[rot][i];
        }
        while(h!=t)
        {
            int cur=qs[h++];
            for(int c=0;c<26;c++)
            {
                if(!ch[cur][c]) ch[cur][c]=ch[fail[cur]][c];
                else
                {
                    fail[ch[cur][c]]=ch[fail[cur]][c];
                    qs[t++]=ch[cur][c];
                }
            }
        }
    }
    #define S 22
    int n,T,up[SZ][S],dep[SZ],orz[SZ];
    int dfn[SZ],ls[SZ],D=0;
    char str[SZ];
    void dfs(int x,int f=0)
    {
        dfn[x]=++D; up[x][0]=f;
        for(int i=1;i<=S-1;i++)
            up[x][i]=up[up[x][i-1]][i-1];
        for esb(x,e,b)
        {
            if(b==f) continue;
            dep[b]=dep[x]+1;
            dfs(b,x);
        }
        ls[x]=D;
    }
    int jump(int x,int d)
    {
        for(int i=S-1;i>=0;i--)
        {
            if(up[x][i]&&dep[up[x][i]]>=d)
                x=up[x][i];
        }
        return x;
    }
    int lca(int a,int b)
    {
        if(dep[a]>dep[b])swap(a,b);
        //dep[a]<=dep[b]
        b=jump(b,dep[a]);
        if(a==b) return a;
        for(int i=S-1;i>=0;i--)
        {
            if(up[a][i]==up[b][i]) continue;
            a=up[a][i]; b=up[b][i];
        }
        return up[a][0];
    }
    int bs[SZ];
    int sum(int x)
    {
        int ans=0;
        for(;x>=1;x-=x&-x) ans+=bs[x];
        return ans;
    }
    int sum(int l,int r)
    {return sum(r)-sum(l-1);}
    void edt(int x,int y)
    {
        for(;x<=D;x+=x&-x) bs[x]+=y;
    }
    int ss[SZ],sn=0,vfa[SZ];
    bool cmpdfn(int a,int b)
    {
        if(a!=b) return dfn[a]<dfn[b];
        return a<b;
    }
    int st[SZ],stn=0;
    int vs[SZ],vn=0;
    void inss(char* s)
    {
        int l=strlen(s),cur=1;
        sn=stn=vn=0; ss[++sn]=1;
        for(int i=0;i<l;i++)
        {
            cur=ch[cur][s[i]-'a'];
            ss[++sn]=cur;
        }
        sort(ss+1,ss+1+sn,cmpdfn);
        sn=unique(ss+1,ss+1+sn)-ss-1;
        for(int i=1;i<=sn;i++) vs[++vn]=ss[i];
        for(int i=1;i<=sn;i++)
        {
            int x=ss[i];
            if(!stn) {st[++stn]=x; vfa[x]=0; continue;}
            int lc=lca(x,st[stn]);
            while(stn&&dep[st[stn]]>dep[lc])
            {
                if(dep[st[stn-1]]<=dep[lc])
                    vfa[st[stn]]=lc;
                --stn;
            }
            if(st[stn]!=lc)
            {
                vs[++vn]=lc;
                vfa[lc]=st[stn];
                st[++stn]=lc;
            }
            vfa[x]=lc; st[++stn]=x;
        }
        for(int i=1;i<=vn;i++)
        {
            int v=vs[i];
            if(!vfa[v]) continue;
            edt(dfn[v],1);
            edt(dfn[vfa[v]],-1);
        }
    }
    int main()
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%s",str);
            orz[i]=insert(str);
        }
        bfail();
        for(int i=2;i<=e;i++) adde(i,fail[i]);
        dfs(1);
        int q; scanf("%d",&q);
        while(q--)
        {
            int g,x;
            scanf("%d",&g);
            if(g==1)
            scanf("%s",str), inss(str);
            else
            scanf("%d",&x),
            printf("%d
    ",sum(dfn[orz[x]],ls[orz[x]]));
        }
    }
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