DFT定义
离散傅里叶变换的公式如下
[X(k)=sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}
]
其中(W_n)是单位根,定义如下
[W_N=e^{-jfrac{2pi}{N}}
]
逆变换如下
[x(n)=frac{1}{N}sum_{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk}
]
性质
线性
如果有(x_1(n))和(x_2(n))两个有限长序列,长度分别为(N_1)和(N_2),且
[y(n)=ax_1(n)+bx_2(n),(a,b为常数)
]
取变换区间长度(N=[N_1,N_2]max)
[X_1(k)=DFT[x_1(n)]_N;X_2(k)=DFT[x_2(n)]_N
]
则(y(n))的(N)点DFT为
[Y(k)=DFT[y(n)]_N=aX_1(k)+bX_2(k)
]
循环移位性质
设(x(n))为有限长序列,长度为(M),则(x(n))的循环移位定义为
[y(n)=x((n+m))_NR_N(n)
]
如果一个序列移位之后,一些样值被移到了起始点前面,那他实际上会在后面再补回来,实际的顺序并没有变.
频域循环移位定理
如果(X(k)=DFT[x(n)]_N)
(Y(k)=X((k+l))_NR_N(k))
则(y(n)=IDFT[Y(k)]_N=W_N^{nl}x(n))
循环卷积定理
如果x_1(n)和x_2(n)是两个有限长序列,长度分别为(M_1)和(M_2),且取循环卷积区间长度(Lgeq max[M_1,M_2])
(X_1(k))是(x_1(n))的(L)点DFT
(X_2(k))是(x_2(n))的(L)点DFT
如果(y(n)=x_1(n)*x_2(n)=[sum_{m=0}^{L-1}x_1(m)x_2((n-m))_L]R_L(n)),
那么他的的DFT为(Y(k)=X_1(k)X_2(k))