序列的z变换
z变换的定义
z变换的定义如下
[X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)z^{-n}
]
其中(z=e^{jomega}),是一个复数.
在复平面上,(z)相当于单位圆上的一点.
典型序列的z变换
单位脉冲序列的z变换
求序列(delta(n))的z变换
[X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}delta(n)z^{- n}\=delta(0)z^{0}\=1,0<|z|<infty
]
最后的一句话是收敛域
阶越序列的z变换
求序列(u(n))的z变换
[X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}u(n)z^{-n}\=sum_{n=0}^{n=infty}z^{-n}
\=frac{1}{1-z^{-1}}, |z|>1
]
矩形序列的z变换
求序列(R_4(n))的z变换
[X(n)=sum_{n=infty}^{infty}R_4(n)z^{-n}
\=sum_{n=0}^{3}z^{-n}
\=1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}
\=frac{1
-z^{-4}}{1-z^{-1}}, 0<|z|<infty
]
收敛域
| 序列类型 | 收敛域 |
|---|---|
| 有限长序列 | $0< |
| 右边序列 | $ |
| 左边序列 | $ |
| 双边序列 | $R_{x-}< |
z变换的性质
线性
[设x_1(n)的z变换是X_1(z)
\x_2(n)的z变换是X_2(z)
\如果x_3(n)=ax_1(n)+bx_2(n)
\那么X_3(z)=aX_1(z)+bX_2(z)
\X_3(z)的收敛域为X_1(z)的收敛域和X_2(z)的收敛域的交集
]
移位性质
双边序列
[x(n)为双边序列时
\设x(n)的z变换是X(z)
\则x(n+n_0)的z变换是z^{n_0}X(z)
\序列移位不会改变z变换的收敛域
]
右边序列右移公式
[x(n)为右边序列
\设x(n)的z变换是X(z)
\x(n-1)的z变换是z^{-1}X(z)+x(-1)
\x(n-2)的z变换是z^{-2}X(z)+z^{-1}x(-1)+x(-2)
\如此类推
]
右边序列左移公式
[x(n)为右边序列
\设x(n)的z变换是X(z)
\x(n+1)的z变换是z^1X(z)-x(1)
\x(n+2)的z变换是z^2X(z)-z^1x(1)-x(2)
如此类推
]
序列乘实指数序列
[设x(n)的z变换是X(z)
\y(n)=a^nx(n)的z变换Y(z)=X(a^{-1}z)
]
复共轭序列的z变换
[设x(n)的z变换是X(z)
\则x^*(n)的z变换是X^*(z^*)
]
初值定理
[设x(n)的z变换是X(z)
\则x(0)=lim_{z->infty}X(z)
]
终值定理
[设x(n)的z变换是X(z)
\则x(infty)=lim_{z->1}(z-1)X(z)
]
帕斯维尔定理(能量定理)
时域总能量等于z域总能量(能量守恒)
[E=sum_{n=-infty}^{infty}|x(n)|^2=frac{1}{2pi}int_{-pi}^{pi}|X(e^{jomega})|^2domega
]