简谐振动
简谐振动就是无阻力的振动,简谐振动在时间上具有周期性,在空间上具有重复性.
简谐振动方程
对于一个质量为(m),弹性系数为(k)的弹簧振子,
弹簧振子和静止状态的位置距离是(x),速度是(v),加速度是(a),有以下性质
[由牛顿第二定律得,F=ma\
由胡克定律的,F=kx\
所以a=frac{kx}{m}\
由速度相关公式得a=frac{d^2x}{dt^2}\
所以frac{d^2x}{dt^2}-frac{kx}{m}=0\
根据数学结论,一个形如frac{d^2x}{dt^2}+w^2x=0的方程\
可以转换为形如x=Acos(omega t+phi)的形式\
所以x=Acos(sqrt{frac{k}{m}}cdot t+phi)\
其中A=sqrt{x_0^2+frac{v_0^2}{omega^2}}\
tanphi=frac{-v_0}{omega x_0}
]
(A)是振幅,(omega)是角速度,(phi)是初始相位,他们被称为振动三要素.周期(T=frac{2pi}{omega}),
振动的位置(x=Asin(omega x + phi))
振动的速度(v=Aomega cos(omega x + phi))
简谐振动能量
振动的动能如下
[E=frac{1}{2}mv^2=frac{1}{2}mcdot A^2omega^2 cos^2(omega t+phi)=frac{1}{2}kcdot A^2cos^2(omega t+phi)
]
振动的弹性势能如下
[E=frac{1}{2}kx^2=frac{1}{2}kcdot A^2sin^2(omega t+phi)
]
振动的总能量如下
[E=frac{1}{2}mv^2+frac{1}{2}kx^2=frac{1}{2}kA^2cos^2(omega t+phi)+frac{1}{2}kA^2sin^2(omega t + phi)=frac{1}{2}kA^2
]
他是恒定不变的
振动的合成
两个同方向同频率简谐振动如下
[x_1=A_1cos(omega t+phi_1)\
x_2=A_2cos(omega t+phi_2)
]
他们合成之后,依然是同方向,同频率的简谐振动,合成的振动相关值如下
[A=sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(phi_2-phi_1)}\
phi=arctanfrac{A_1sinphi_1+A_2sinphi_2}{A_1cosphi_1+A_2cosphi_2}
]