[POJ 1061]--青蛙的约会(扩展欧几里得)

                                                               青蛙的约会

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题目链接：http://poj.org/problem?id=1061

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是 它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下 去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只 青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设 青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你 求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 20
00000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

 

解题思路：首先把这道题转化为相关的数学方程：(n-m)t+pL=x-y,即二元一次不定方程at+bp=c，根据数论的相关定理，得知当c%gcd(a,b)==0时方程有整数解，

　　　　　否则没有，即此题无解。

引用以下定理：

定理1 gcd(a,b)是ax+by的线性组合的最小正整数，x，y∈z;
定理2 如果ax+by=c，x，y∈z；则c%gcd==0;
定理3 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c

（1）有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为x=x0+bt;y=y0-at;t∈z;

（2）方程at+bp=c左右两边同除以gcd(a,b),得a1t+b1p=c1,再解最小正整数线性组合得一组解x1，y1，

　　  则所求方程的一组解为T=x1*c1，P=y1*c1，根据（2）式可得t的最小正整数解为（T%b1+b1）%b1，此即为可行时所求解，

注意：因为所给数据比较大，这里全部用__int64。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

__int64 t, p;
__int64 get_gcd(__int64 a, __int64 b){
    return !b?a:get_gcd(b, a%b);
}

void extended_gcd(__int64 a, __int64 b){
    if (!b){
        t = 1;
        p = 0;
    }
    else{
        __int64 temp;
        extended_gcd(b, a%b);
        temp = t - a / b*p;
        t = p;
        p = temp;
    }
}

int main(){
    __int64 x, y, n, m, L, gcd;
    cin >> x >> y >> m >> n >> L;
    if (m == n){
        cout << "Impossible" << endl;
        return 0;
    }
    __int64 a, b, c, c1;
    a = n - m;
    b = L;
    c = x - y;
    gcd = get_gcd(a, b);
    c1 = c%gcd;
    if (c1 != 0){
        cout << "Impossible" << endl;
        return 0;
    }
    c /= gcd;
    a /= gcd;
    b /= gcd;
    extended_gcd(a, b);
    t *= c;
    p *= c;
    t = (t%b + b) % b;
    cout << t << endl;
    return 0;
}

当然也可以这么写：

d为n-m和L的最大公约数，x为(n-m)/d对L/d的逆元，即((n-m)/d) * x ≡ 1(mod L/d)，即((n-m)/d) * x + (L / d)* y = 1的一组解，

所以((m-m)/d) * x + (L / d)* y = (x-y)/d的一组解为x0 = (x-y)/d * x.这也是(n - m) * x+ L * y = (x - y)的一组解。 （代码中cycle代表d）。

#include<iostream>
using namespace std;
long gcd(long a, long b){
    return !b ? a : gcd(b, a%b);
}
int main(){
    long x, y, m, n, L, i, cycle;
    while (cin >> x >> y >> m >> n >> L){
        if (m > n) cycle = (y - x + L) % L;
        else{
            cycle = (x - y + L) % L;
            swap(m, n);
        }
        if (n == m || cycle%gcd(L, m - n)){
            cout << "Impossible" << endl;
            continue;
        }
        for (i = 0;; i++){
            if ((i*L + cycle) % (m - n) == 0){
                cout << (i*L + cycle) / (m - n) << endl;
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}