排列组合

排列组合

前言

说实话这是我小学时的噩梦

正文

为了更好的理解基础概念，我们用一个题来展开：

给定一个集合\(S\)，内有\(n\)个元素，且\(1-n\)每个数恰好出现一次
如果不计顺序，求出从集合\(S\)中选出\(m\;(m<=n)\)个元素的方案数

• 不计顺序就是说\((1,3,2)\) 和 \((1,2,3)\)算两种方案

我们想：既然不计顺序，则第一个数有\(n\)种选择方案，对于每种方案，第二个数有\(n-1\)种选择方案，第三个数有\(n-2\)种
以此类推，第\(m\)个数有\(n-m\)种选择方案

所以：\(A^m_n=n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times(n-m)=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)

如果计顺序呢？
也就是说\((1,3,2)\) 和 \((1,2,3)\)算一种方案

设\(\lambda(x)\)为含有\(x\)个的元素的集合的全排列个数

则我们发现，每个重复的集合都被恰好计算了\(\lambda(m)\)次

所以：\(C^m_n=\dfrac{A^m_n}{\lambda(m)}=\dfrac{A^m_n}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)

插空与隔板

例如这么两个题

[1]已知三元一次方程\(x+y+z=13\)，求这个方程的正整数解的个数
高斯消元党请自觉往下面去

乍一看 这是什么玩意 这完全没有思路

但意思其实就是给你13个球，让你用两块板子将其分隔成三部分
既然分隔，所以我们看的不是球的个数，而是空隙的个数

所以答案为：\(C^2_{12}=66\)

验证程序：

#include<iostream>
#define F(a,b) for(int a=1;a<=b;a++)
int ans;
signed main(){
	F(i,13) F(o,13) F(p,13)
		if(i+o+p==13) ans+=1;
	std::cout<<ans;
}

out: 66

[2]已知三元一次方程\(x+y+z=13\)，求这个方程的非负整数解的个数

非负说明了可能有零的出现

意思其实就是给你13个球，让你分到3个箱子里，每个箱子允许不放
就等价于每个箱子事先放进去1个，然后13个球让你分到3个箱子里，每个箱子里至少有一个
就相当于16个球用俩板子分成三部分

所以答案为：\(C^2_{15}=105\)

验证程序：

#include<iostream>
#define F(a,b) for(int a=0;a<=b;a++)
int ans;
signed main(){
	F(i,13) F(o,13) F(p,13)
		if(i+o+p==13) ans+=1;
	std::cout<<ans;
}

out: 105