卡特兰数的英文维基讲得非常全面，强烈建议阅读！
(本文中图片也来源于这个页面)
由于本人太菜，这里只选取其中两个公式进行总结。
（似乎就是这两个比较常用？）
首先先扔卡特兰数的定义式
[Catalan_n=sum_{i=1}^{n-1}Catalan_i*Catalan_{n-i}
]
(卡特兰数的很多应用，比如二叉树形态数，出栈序列数等，都由这个定义式得到。详见英文维基)
公式1 (通项公式) ：
[Catalan_n=frac{1}{n+1}C_{2n}^n
]
在上文提到的出栈序列的问题情景中，如果有(n)个元素，在平面直角坐标系中用(x)坐标表示入栈数，(y)坐标表示出栈数，则坐标((a,b))表示目前已经进行了(a)次入栈和(b)次出栈，则再进行一次入栈就是走到((a+1,b))，再进行一次出栈就是走到((a,b+1))。并且，由于入栈数一定小于等于出栈数，所以路径不能跨越直线(y=x)
因此，题目相当于求从((0,0))走到((n,n))且不跨越直线(y=x)的方案数
首先，如果不考虑不能跨越直线(y=x)的要求，相当于从(2n)次操作中选(n)次进行入栈，则方案数为(C_{2n}^n)。
然后，考虑对于一种不合法的方案，一定在若干次操作后有一次出栈数比入栈数多一次，这个点在直线(y=x+1) (即下图中红色的线) 上。那么把第一次碰到该直线以后的部分关于该直线对称，则最终到达的点是((n-1,n+1)) (如下图) 。
图源：英文维基 (即文首网址)
显然，任何非法方案都可以通过此方式变成一条从((0,0))到((n-1,n+1))的路径，有(C_{2n}^{n+1})种。而任何合法方案由于不接触直线(y=x+1)，无论从哪个点对称都不是一条连续的路径。由于合法方案数就是(Catalan_n)，所以：
[egin{aligned}
Catalan_n&=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}\
&=frac{(2n)!}{n!*n!}-frac{(2n)!}{(n+1)!*(n-1)!}\
&=frac{1}{n+1}(frac{(2n)!*(n+1)}{n!*n!}-frac{(2n)!}{n!*(n-1)!})\
&=frac{1}{n+1}(frac{(2n)!*(n+1)}{n!*n!}-frac{(2n)!*n}{n!*n!})\
&=frac{1}{n+1}*frac{(2n)!*(n+1)-(2n)!*n}{n!*n!}\
&=frac{1}{n+1}*frac{(2n)!}{n!*n!}\
&=frac{1}{n+1}C_{2n}^n\
end{aligned}
]
公式2 (递推公式) ：
[Catalan_{n+1}=frac{4n+2}{n+2}Catalan_n
]
(这个公式的推导过程似乎网上没有，估计是思路太简单了……我太菜了想了半天才推出来)
由上面那个通项公式得
[egin{aligned}
Catalan_{n+1}&=frac{1}{n+2}C_{2n+2}^{n+1}\
&=frac{1}{n+2}*frac{(2n+2)!}{(n+1)!*(n+1)!}\
&=frac{1}{n+2}*frac{(2n)!*(2n+1)*(2n+2)}{n!*n!*(n+1)^2}\
&=frac{1}{n+2}*frac{(2n+1)*(2n+2)}{(n+1)}*frac{1}{n+1}*frac{(2n)!}{n!*n!}\
&=frac{2(2n+1)}{n+2}*frac{1}{n+1}*C_{2n}^n\
&=frac{4n+2}{n+2}Catalan_n\
end{aligned}
]