题目
突然发现了 CF 镜像站这个神奇的东西 ……
翻译
题目名称：图的游戏
描述
在计算机科学中，有一种解决有关树上路径的问题的算法称为「点分治」。我们来用函数的形式描述这个算法：
(solve(t)) （(t) 是一棵树）：
- 在树 (t) 中选择一个结点 (x) （通常选择重心）。我们称这一步为「第一步」。
- 处理所有经过 (x) 的路径。
- 从树 (t) 中删除结点 (x) 。
- 然后 (t) 变成了若干个子树。
- 在每个子树上执行 (solve) 函数。
当 (t) 只有一个结点时，因为删除这个点后就什么也没有了，所以算法结束。
现在，我家妹子不骂人（译者注：这是人名，原文为「WJMZBMR」，听说是某位远古神犇的网名）错误地认为在「第一步」中选任意一个点都是可以的，所以他将随机地选一个点。使这个算法更糟的是，他认为一棵「树」的边数和点数相等！所以这个算法的过程变成了这样：
定义一个变量 (totalCost) ，初始化为 (0) 。(solve(t)) （现在 (t) 是一个图）：
- (totalCost=totalCost+(size of t)) 。操作符「=」的意思是赋值。(Size of t) 的意思是 (t) 的结点数。
- 在图 (t) 中随机选择一个结点 (x) （ (t) 中所有结点等概率）。
- 从图 (t) 中删除 (x) 。
- 然后 (t) 变成了若干个连通块。
- 在每个连通块上执行 (solve) 函数。
他会在一个 (n) 个结点和 (n) 条边的连通图上执行 (solve) 。他认为这个算法很快，但实际上它很慢。他想知道这个过程中 (totalCost) 的期望。你能帮他吗？
输入
第一行包含一个整数 (n(3leq nleq3000)) —— 图中的点数和边数。接下来的 (n) 行中，每一行包含两个整数 (a_i,b_i(0leq a_i,b_ileq n - 1)) ，表示在 (a_i) 和 (b_i) 之间有一条边。
注意结点编号是从 (0) 到 (n-1) 。保证图中没有自环和重边。保证图连通。
输出
输出一个整数 —— (totalCost) 的期望。如果你的答案和标准答案的绝对或相对误差不超过 (10^{-6}) 则被认定为正确。
分析
一个引理：
对于图 (G) 中的任意一个大小为 (s) 的连通块（不一定是连通分量） (C) ，里面每一个点成为该连通块中第一个被选中的点的概率是 (frac{1}{s}) 。考虑用归纳法证明（我自己口胡的不知道对不对啊）。
如果图 (G) 只有一个点，显然成立。
如果现在已经证明了对于所有点数小于 (n) 的图成立，来证明对于所有点数为 (n) 的图成立。考虑对于图 (G) 中任意一个连通块 (C) （设大小为 (s) ），在其中任意取一点 (x) 计算在 (C) 中首先选中 (x) 的概率 (P(x)) 。分这几种情况。
第一，如果第一步就选中 (x) ，那么 (x) 显然是 (C) 中第一个被选中的点，概率为 (frac{1}{n}) ；
第二，如果第一步选中了 (C) 中除 (x) 以外的点，那么 (x) 显然不可能是 (C) 中第一个被选中的点，概率为 (0) ；
第三，如果第一步选中了 (C) 以外的点（概率为 (frac{n-s}{n}) ），那么 (G) 被分成了一个或若干个点数小于 (n) 的连通分量，其中一定有一个连通分量完整包含了 (C) 。这个连通分量的点数小于 (n) 。由于已经证明了这个引理对所有点数小于 (n) 的图都成立，所以在这个连通分量中 (x) 成为 (C) 中第一个被选中的概率为 (frac{1}{s}) 。
综上所述：
好现在来看这道题。当一个点被选中时，答案的增量是这个点当前所在连通块的点数。换句话说，每一个与它连通的点都会对答案有 1 的贡献。形式化地，对于每一个 有序 点对 ((x,y)) ，如果 (x) 被选中时 (x) 和 (y) 连通，那么就会对答案有 1 的贡献。根据期望的线性性，每对 ((x,y)) 对答案有贡献的概率之和就是答案。
题目中给出的图是基环树。分两种情况讨论。
第一，如果 (x) 和 (y) 在同一棵树中，那么这两个点连通当且仅当它们树上路径上没有删掉任意一个点，也就是说 (x) 必须是这条路径上第一个被选中的点。根据引理，概率为 (frac{1}{p}) ，其中 (p) 是路径上的点数（含端点）。
第二，如果 (x) 和 (y) 不在同一棵树中，那么根据顺时针或是逆时针绕环就有两条路径。设两条路径的长度为 (a) 和 (b) ，两条路径并的长度为 (c) ，则有几下几种情况满足条件：
- (x) 是路径并中第一个被选中的点，概率为 (frac{1}{c}) ；
- 先选中了一条路径上一个点（概率为 (frac{c-a}{c}) 或 (frac{c-b}{c}) ），然后在另一条路径上第一个选中 (x) （概率为 (frac{1}{a}) 或 (frac{1}{b}) ）。
综上，这种情况下概率为 (frac{1}{c}+frac{c-a}{c}cdotfrac{1}{a}+frac{c-b}{c}cdotfrac{1}{b}) 。
代码
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
namespace zyt
{
const int N = 3e3 + 10, B = 15;
int n;
vector<int> g[N];
bool vis[N], incir[N];
int cir[N], circnt, pos[N], rot[N], fa[N][B], dep[N];
bool dfs(const int u, const int f)
{
if (vis[u])
{
cir[pos[u] = circnt++] = u;
incir[u] = true;
return true;
}
vis[u] = true;
for (auto v : g[u])
{
if (v == f)
continue;
if (dfs(v, u))
{
if (u == cir[0])
return false;
else
{
cir[pos[u] = circnt++] = u;
incir[u] = true;
return true;
}
}
}
return false;
}
void JMAK(const int u, const int f, const int r)
{
rot[u] = r;
fa[u][0] = f;
for (int i = 1; i < B; i++)
fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
dep[u] = dep[f] + 1;
for (auto v : g[u])
{
if (incir[v] || v == f)
continue;
JMAK(v, u, r);
}
}
int lca(int a, int b)
{
if (dep[a] < dep[b])
swap(a, b);
for (int i = B - 1; i >= 0; i--)
if (dep[fa[a][i]] >= dep[b])
a = fa[a][i];
if (a == b)
return a;
for (int i = B - 1; i >= 0; i--)
if (fa[a][i] != fa[b][i])
a = fa[a][i], b = fa[b][i];
return fa[a][0];
}
int dis(const int a, const int b)
{
return dep[a] + dep[b] - (dep[lca(a, b)] << 1);
}
int work()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
++a, ++b;
g[a].push_back(b), g[b].push_back(a);
}
dfs(1, 0);
for (int i = 0, o = 0; i < circnt; i++)
JMAK(cir[i], o, cir[i]);
double ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (rot[i] == rot[j])
ans += 1.0 / double(dis(i, j) + 1);
else
{
int len1 = dep[i] + dep[j], len2 = abs(pos[rot[i]] - pos[rot[j]]) - 1, len3 = circnt - len2 - 2;
int tot = len1 + len2 + len3;
ans += 1.0 / tot + (double)len2 / tot * (1.0 / (len1 + len3)) + (double)len3 / tot * (1.0 / (len1 + len2));
}
printf("%.9f", ans);
return 0;
}
}
int main()
{
return zyt::work();
}