01 复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

为什么需要复杂度分析？

把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？

1.测试结果非常依赖测试环境

2.测试结果受数据规模的影响很大

我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。 ————时间、空间复杂度分析方法。

大O复杂度表示法

时间复杂度分析

1.只关注循环次数最多的一段代码

2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

上面的代码分为三部分，分别是求sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。

第一段代码循环执行了100次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。
第二段和第三段代码的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(n的平方)。

结合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n的平方)。

抽象成公式：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n))，O(g(n)))=O(max(f(n),g(n))).

3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

上面的代码，单独看 cal() 函数，假设 f() 只是一个普通的操作，那第4~6行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。
但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

几种常见时间复杂度实例分析

复杂度量级分为两类：多项式量级和非多项式量级
非多项式量级只有两个：O(2的n次方)和 O(n!)

多项式时间复杂度

1. O(1)

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是 O(1)。

2. O(logn)、O(nlogn)

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

变量i的值其实是一个等比数列

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。
x = log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

这段代码的时间复杂度为 O(log3n)

实际上，不管是以2为底、以3为底，还是以10为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。

因为，对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所有 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。而 在采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。，所以，在对数阶时间复杂度表示法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

根据乘法法则，如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(logn) 了。而且，O(logn) 也是一种非常常见的时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3. O(m+n)、O(m*n)

有一种时间复杂度跟前面都不一样，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法法则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

空间复杂度分析

空间复杂度全程就是 渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第2行申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第3行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

常见的空间复杂度有 O(1)、O(n)、O(n的平方)，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到，而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。