BZOJ2326: [HNOI2011]数学作业

2326: [HNOI2011]数学作业

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Description

题解：

第一次知道矩阵乘法还能这样用，真是太神了！

我想到了递推式：

f[i]=(f[i-1]*10^len[i]+i) mod p

但是我没有办法用矩阵乘法来解决这样 f[i]=a*f[i-1]+b 但a和b都随着 i 的变化而变化

可以分位数来消掉a的变化，但是b我无法解决。

看了题解之后发现居然还可以这样！

把矩阵增一维

(f[i-1],i-1,1)*(10^len(i),0 0  =(f[i],i,1)

                         1,1,0

                         1,1,1)

简直太神了！原来矩阵不仅可以快速求解 线性递推式，还可以求解这样的，只要把变化的量一同加入矩阵的表示中即可。

题外话：
不会写 c++ 的矩阵快速幂，只好上pascal了。。。

边界要注意，想清楚了再写。

矩阵满足结合律，不满足交换律。

代码：

type matrix=array[1..3,1..3] of int64;
var a,b,c:matrix;
    m:array[0..18] of int64;
    i,j:longint;
    cs,n,p:int64;
    s:string;
operator *(a,b:matrix)c:matrix;
 var i,j,k:longint;
 begin
   fillchar(c,sizeof(c),0);
   for i:=1 to 3 do
    for j:=1 to 3 do
     for k:=1 to 3 do
      c[i,j]:=(c[i,j]+(a[i,k]*b[k,j] mod p)) mod p;
 end;
procedure main;
 begin
   m[0]:=1;
   for i:=1 to 18 do m[i]:=m[i-1]*10;
   readln(n,p);str(n,s);
   fillchar(b,sizeof(b),0);
   for i:=1 to 3 do b[i,i]:=1;
   for i:=1 to length(s) do
    begin
     if i<>length(s) then cs:=m[i]-m[i-1] else cs:=n-m[length(s)-1]+1;
     a[1,1]:=m[i] mod p;a[1,2]:=0;a[1,3]:=0;
     a[2,1]:=1;a[2,2]:=1;a[2,3]:=0;
     a[3,1]:=1;a[3,2]:=1;a[3,3]:=1;
     while cs>0 do
      begin
       if cs and 1=1 then b:=b*a;
       cs:=cs>>1;
       a:=a*a;
      end;
    end;
   writeln(b[3,1]);
 end;

begin
  assign(input,'input.txt');assign(output,'output.txt');
  reset(input);rewrite(output);
  main;
  close(input);close(output);
end.