NOI2013矩阵游戏

Description

婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素，则F[i][j]满足下面的递推式:

F[1][1]=1
F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)
F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)
递推式中a,b,c,d都是给定的常数。

现在婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。
Input

一行有六个整数n,m,a,b,c,d。意义如题所述
Output

包含一个整数，表示F[n][m]除以1,000,000,007的余数
Sample Input
3 4 1 3 2 6
Sample Output
85
HINT

样例中的矩阵为：

1 4 7 10

26 29 32 35

76 79 82 85

题解：

不看数据范围的话这就是到水题……

前10个点很好过，普通的二进制快速幂就可以  

后面10个点如果还用原来的方法，需要涉及高精度除以单精度，复杂度是O(len)的

所以一种新的快速幂诞生了！-----十进制快速幂！

（转）

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假设咱们需要求 m^n，咱们有一种方法是 二进制快速幂，这个的复杂度是O(logn)的。但是咱们还可以做的更好实际上....咱们把 n拆成10进制表达式，比如 :

234=2*10^2+3*10+4，

139476=1*10^5+3*10^4+9*10^3+4*10^2+7*10^1+6

咱们设拆成的形式是

n=a0+a1*10^1+a2*10^2...+ai*10^i+...+ad*10^d，d为n的最高位，其实就是d=【logn】(log以10为底数）

然后这个表示出来了咱们有：

m^n=m^(a0+a1*10^1+a2*10^2+...+ai*10^i...+ad*10^d)(ak∈【0,9】，k∈【1，d】）

看出一点来了吧...

咱们可以化成 m^n=m^a9*(m^a1)^10*(m^a2)^100....

继续化简，咱们有 m^n=(((m^ad)^10*ad-1)^10*m^ad-2).....

这个实际上就很好做了，由于 0<=ai<=9，只需要预处理下m^0~m^9即可很快计算出m^ai，然后这个就是O(logn)的，(log以10为底)，只不过需要加个10的常数，不过这个的效率在n达到10^100就可以体现了=w=。

即算法流程就是初始化ans=1,从n的最高位开始，每一次提取一位w，用ans乘以m^w然后再做10次的幂，重复到n的所有位都取完了即可。即这个算法的复杂度只与n的位数有关，预处理10个数复杂度也不是很高。

然后取最高位只需要一开始分解每个位存在一个数组里面即可，这里假设是a[]，然后预处理的m^0~9在mm[]里，下面就是伪代码：

 

function quickmod(n:int64):int64;

begin

    len=0;tmp=n

    while tmp!=0 do

        len=len+1

       a[len]=tmp mod 10;

       tmp=tmp div 10;

    ans=1

    for i=len downto 1 do

      ans=ans*mm[a[i]]

      ans=ans^10

    return ans

end

    

再举个例子吧...

比如 2^154，咱们就有 2^154=((2^1)^10*2^5)^10*2^4 咱们拆开来自然可以检验出这个是不是正确的了。

再比如 2^1512526，咱们就有

2^1512526=((((((2^1)^10*2^5)^10*2^1)^10*2^2)^10*2^5)^10*2^2)^10*2^6

为什么要用十进制快速幂？显然可以发现它的表示实际上比二进制更自然吧...每次只需要取最高位就可以了而不需要考虑什么二进制的原理，显然是十分方便的。而且复杂度比二进制的复杂度更小，还是非常不错了。

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我觉得其实十进制快速幂的思想和霍纳法则（或者称之为秦九韶算法）差不多……

代码1：50分 二进制快速幂

const p=1000000007;
type matrix=array[1..2,1..2] of longint;
var a,b,c:matrix;
    i,n,m,a1,a2,b1,b2:longint;
procedure mul(var x,y,z:matrix);
 var t:matrix;
     i,j,k:longint;
 begin
 fillchar(t,sizeof(t),0);
 for i:=1 to 2 do
  for j:=1 to 2 do
   for k:=1 to 2 do
    t[i,j]:=(t[i,j]+x[i,k]*y[k,j]) mod p;
 z:=t;
 end;
procedure ksm(cs:longint);
 begin
 while cs>0 do
  begin
  if cs and 1=1 then mul(a,b,b);
  cs:=cs>>1;
  mul(a,a,a);
  end;
 end;
procedure init;
 begin
 readln(n,m,a1,b1,a2,b2);
 end;
procedure main;
 begin
 a[1,1]:=1;a[1,2]:=b1;a[2,1]:=0;a[2,2]:=a1;
 for i:=1 to 2 do b[i,i]:=1;
 ksm(m-1);
 c:=b;
 b[1,1]:=1;b[1,2]:=b2;b[2,1]:=0;b[2,2]:=a2;
 mul(c,b,a);
 fillchar(b,sizeof(b),0);
 for i:=1 to 2 do b[i,i]:=1;
 ksm(n-1);
 mul(b,c,b);
 writeln((b[1,2]+b[2,2]) mod p);
 end;
begin
 init;
 main;
end.

代码2：80分 十进制快速幂（后四个点TLE)

const p=1000000007;
type matrix=array[1..2,1..2] of longint;
     arrtype=array[0..1500000] of longint;
var a,b,c:matrix;
    mm:array[0..9] of matrix;
    i,a1,a2,b1,b2:longint;
    n,m:arrtype;
    ch:char;
procedure mul(var x,y,z:matrix);
 var t:matrix;
     i,j,k:longint;
 begin
 fillchar(t,sizeof(t),0);
 for i:=1 to 2 do
  for j:=1 to 2 do
   for k:=1 to 2 do
    t[i,j]:=(t[i,j]+x[i,k]*y[k,j]) mod p;
 z:=t;
 end;
procedure pow10(s:arrtype);
 var i,j:longint;t:matrix;
 begin
 dec(s[s[0]]);i:=s[0];while s[i]<0 do begin inc(s[i],10);dec(s[i-1],1);dec(i);end;
 fillchar(mm,sizeof(mm),0);
 for i:=1 to 2 do mm[0,i,i]:=1;
 for i:=1 to 9 do mul(mm[i-1],a,mm[i]);
 fillchar(b,sizeof(b),0);
 for i:=1 to 2 do b[i,i]:=1;
 for i:=1 to s[0] do
  begin
  mul(b,mm[s[i]],b);
  if i=s[0] then break;
  t:=b;
  for j:=2 to 10 do mul(b,t,b);
  end;
 end;
procedure init;
 begin
 read(ch);n[0]:=0;
 while ch<>' ' do
   begin
   inc(n[0]);n[n[0]]:=ord(ch)-ord('0');
   read(ch);
   end;
 read(ch);m[0]:=0;
 while ch<>' ' do
   begin
   inc(m[0]);m[m[0]]:=ord(ch)-ord('0');
   read(ch);
   end;
 readln(a1,b1,a2,b2);
 end;
procedure main;
 begin
 a[1,1]:=1;a[1,2]:=b1;a[2,1]:=0;a[2,2]:=a1;
 pow10(m);
 c:=b;
 b[1,1]:=1;b[1,2]:=b2;b[2,1]:=0;b[2,2]:=a2;
 mul(c,b,a);
 pow10(n);
 mul(b,c,b);
 writeln((b[1,2]+b[2,2]) mod p);
 end;
begin
 init;
 main;
end.

代码3：80分 考虑把代码二中 ans^10换成二进制快速幂（依然TLE)

const p=1000000007;
type matrix=array[1..2,1..2] of int64;
     arrtype=array[0..1500000] of longint;
var a,b,c:matrix;
    mm:array[0..9] of matrix;
    i,a1,a2,b1,b2:longint;
    n,m:arrtype;
    ch:char;
procedure mul(var x,y,z:matrix);
 var t:matrix;
     i,j,k:longint;
 begin
 fillchar(t,sizeof(t),0);
 for i:=1 to 2 do
  for j:=1 to 2 do
   for k:=1 to 2 do
    t[i,j]:=(t[i,j]+x[i,k]*y[k,j]) mod p;
 z:=t;
 end;
procedure pow10(s:arrtype);
 var i,j,cs:longint;tmp:matrix;
 begin
 dec(s[s[0]]);i:=s[0];while s[i]<0 do begin inc(s[i],10);dec(s[i-1],1);dec(i);end;
 fillchar(mm,sizeof(mm),0);
 for i:=1 to 2 do mm[0,i,i]:=1;
 for i:=1 to 9 do mul(mm[i-1],a,mm[i]);
 fillchar(b,sizeof(b),0);
 for i:=1 to 2 do b[i,i]:=1;
 for i:=1 to s[0] do
  begin
  mul(b,mm[s[i]],b);
  if i=s[0] then break;
  tmp:=b;
  fillchar(b,sizeof(b),0);
  for j:=1 to 2 do b[j,j]:=1;
  cs:=10;
  while cs>0 do
   begin
   if cs and 1=1 then mul(tmp,b,b);
   cs:=cs>>1;
   mul(tmp,tmp,tmp);
   end;
  end;
 end;
procedure init;
 begin
 read(ch);n[0]:=0;
 while ch<>' ' do
   begin
   inc(n[0]);n[n[0]]:=ord(ch)-ord('0');
   read(ch);
   end;
 read(ch);m[0]:=0;
 while ch<>' ' do
   begin
   inc(m[0]);m[m[0]]:=ord(ch)-ord('0');
   read(ch);
   end;
 readln(a1,b1,a2,b2);
 end;
procedure main;
 begin
 a[1,1]:=1;a[1,2]:=b1;a[2,1]:=0;a[2,2]:=a1;
 pow10(m);
 c:=b;
 b[1,1]:=1;b[1,2]:=b2;b[2,1]:=0;b[2,2]:=a2;
 mul(c,b,a);
 pow10(n);
 mul(b,c,b);
 writeln((b[1,2]+b[2,2]) mod p);
 end;
begin
 init;
 main;
end.     

代码4：受兰多夫87的影响，考虑修改矩阵乘法，应为第一列始终是不变的  （为什么还是TLE啊…………）

const p=1000000007;
type matrix=array[1..2,1..2] of int64;
     arrtype=array[0..1500000] of longint;
var a,b,c:matrix;
    mm:array[0..9] of matrix;
    i,a1,a2,b1,b2:longint;
    n,m:arrtype;
    ch:char;
procedure mul(var x,y,z:matrix);
 var t:matrix;
     i,j,k:longint;
 begin
 fillchar(t,sizeof(t),0);
 t[1,1]:=1;t[2,1]:=0;
 for i:=1 to 2 do
   for k:=1 to 2 do
    t[i,2]:=(t[i,2]+x[i,k]*y[k,2]) mod p;
 z:=t;
 end;
procedure pow10(s:arrtype);
 var i,j,cs:longint;tmp:matrix;
 begin
 dec(s[s[0]]);i:=s[0];while s[i]<0 do begin inc(s[i],10);dec(s[i-1],1);dec(i);end;
 fillchar(mm,sizeof(mm),0);
 for i:=1 to 2 do mm[0,i,i]:=1;
 for i:=1 to 9 do mul(mm[i-1],a,mm[i]);
 fillchar(b,sizeof(b),0);
 for i:=1 to 2 do b[i,i]:=1;
 for i:=1 to s[0] do
  begin
  mul(b,mm[s[i]],b);
  if i=s[0] then break;
  tmp:=b;
  fillchar(b,sizeof(b),0);
  for j:=1 to 2 do b[j,j]:=1;
  cs:=10;
  while cs>0 do
   begin
   if cs and 1=1 then mul(tmp,b,b);
   cs:=cs>>1;
   mul(tmp,tmp,tmp);
   end;
  end;
 end;
procedure init;
 begin
 read(ch);n[0]:=0;
 while ch<>' ' do
   begin
   inc(n[0]);n[n[0]]:=ord(ch)-ord('0');
   read(ch);
   end;
 read(ch);m[0]:=0;
 while ch<>' ' do
   begin
   inc(m[0]);m[m[0]]:=ord(ch)-ord('0');
   read(ch);
   end;
 readln(a1,b1,a2,b2);
 end;
procedure main;
 begin
 a[1,1]:=1;a[1,2]:=b1;a[2,1]:=0;a[2,2]:=a1;
 pow10(m);
 c:=b;
 b[1,1]:=1;b[1,2]:=b2;b[2,1]:=0;b[2,2]:=a2;
 mul(c,b,a);
 pow10(n);
 mul(b,c,b);
 writeln((b[1,2]+b[2,2]) mod p);
 end;
begin
 init;
 main;
end.      
            

代码5：我认为是我写丑了 膜拜兰多夫87吧

const p=1000000007;
type matrix=array[1..2] of int64;
     arrtype=array[0..1500000] of longint;
var x,y:matrix;
    z:array[0..9] of matrix;
    i,a,b,c,d:longint;
    n,m:arrtype;
    ch:char;
operator *(a,b:matrix)c:matrix;
 begin
 c[1]:=a[1]*b[1] mod p;
 c[2]:=(b[1]*a[2]+b[2]) mod p;
 end;
function f(x:matrix;var a:arrtype):matrix;
 var i:longint;y:matrix;
 begin
 dec(a[a[0]]);i:=a[0];
 while a[i]<0 do begin inc(a[i],10);dec(a[i-1]);dec(i);end;
 z[0,1]:=1;z[0,2]:=0;
 for i:=1 to 9 do z[i]:=z[i-1]*x;
 x:=z[0];
 for i:=1 to a[0] do
  begin
  y:=x*x;
  x:=x*y*y;
  x:=x*x;
  x:=x*z[a[i]];
  end;
 exit(x);
 end;
procedure init;
 begin
 read(ch);n[0]:=0;
 while ch<>' ' do
   begin
   inc(n[0]);n[n[0]]:=ord(ch)-ord('0');
   read(ch);
   end;
 read(ch);m[0]:=0;
 while ch<>' ' do
   begin
   inc(m[0]);m[m[0]]:=ord(ch)-ord('0');
   read(ch);
   end;
 readln(a,b,c,d);
 end;
procedure main;
 begin
 x[1]:=a;x[2]:=b;
 x:=f(x,m);
 y[1]:=c;y[2]:=d;
 y:=x*y;
 y:=f(y,n);
 y:=y*x;
 writeln((y[1]+y[2]) mod p);
 end;
begin
 assign(input,'matrix.in');assign(output,'matrix.out');
 reset(input);rewrite(output);
 init;
 main;
 close(input);close(output);
end.   

无限orz！

看来养成一个好的代码风格是必要的