读贾志鹏《线性筛法与积性函数》笔记

1.欧拉筛法在线性时间内求素数以及欧拉函数

代码：

procedure get;
 var i,j,k:longint;
 begin
 tot:=0;
 fillchar(check,sizeof(check),false);
 for i:=2 to n do
  begin
  if not(check[i]) then
   begin
    inc(tot);
    p[tot]:=i;
    fai[i]:=i-1;
   end;
  for j:=1 to tot do
   begin
    k:=i*p[j];
    if k>n then break;
    check[k]:=true;
    if i mod p[j]=0 then
     begin
      fai[k]:=fai[i]*p[j];
      break;
     end
    else
      fai[k]:=fai[i]*(p[j]-1);
   end;
 end;
end;

其主要优越性在于：每个合数只被筛了一次，而且是被它的最小素因子筛掉的。

证明如下：

设合数n最小的质因数为p,它的另一个大于p的质因数为p′ ,令
n = pm = p′ m′ 。观察上面的程序片段,可以发现j循环到质因数p
时合数n第一次被标记(若循环到p 之前已经跳出循环,说明n 有
更小的质因数),若也被p′标记,则是在这之前(因为m′ < m)
,考虑i循环到m′ ,注意到n = pm = p′ m′ 且p, p′为不同的质数,因
此p|m′,所以当j循环到质数p后结束,不会循环到p′,这就说明不
会被p′ 筛去。

2.sigma（φ（d）,d I n）=n

这也是可以证明的，这里略去（不会上传图片），其实这个结论正是noi2002 robot 1题中的关键思路

3.当n > 1时, 1 ... n中与n互质的整数和为n*φ （n） div 2

这个可以这样考虑，假如x与n互质，那么n-x也一定与n互质，所以φ（n）肯定是个偶数，将这φ（n）

两两配对，即得结论

4.若f （n） 为积性函数,则函数g n = sigma（f(d)，d|n）也是积性函数,反之亦然。

莫比乌斯反演的基本形式就是：

g(n) = sigma(d|n, f(d))
f(n) = sigma(d|n, μ(n/d) * g(d))

还有另外一个形式是：

g(n) = sigma(d|n, f(d))
f(n) = sigma(n|d, μ(n) * g(n/d))

5.莫比乌斯函数

	若
	若无平方数因数，且
	若有大于的平方数因子

6.

莫比乌斯函数是一个积性函数。

	若
	其他状况

以狄利克雷卷积的方法表示，则是 ，其中是狄利克雷卷积的单位元，这是默比乌斯反转公式的原理。

这是可以证明的：

当n》1时，考虑n的标准分解式有k项

根据莫比乌斯函数的取值，考虑分类求左边的值，则

左边=0+1+（（1-1）的k次方）-1=0

我解释一下：

（1）.0是当d含有了大于1的平方数因子时，总和为0

（2）.1是当d=1时，和为1

（3）.这个比较巧妙，剩下的应该是莫比乌斯函数取值中的第二种情况了

         实际上，（1-1）的k次方是一个组合的过程

         假设我们对n的k个素因子进行选择，一共要选择k次

         如果选，那么代表的它的莫比乌斯函数要变成原来的相反数，所以有个-1

         如果不选，那么让它乘上个-1，保持不变

         也就是说，当你把这个式子展开以后，每一项都有它的实际意义

         比如（-1）*（1）*（-1）*（-1）=-1代表n有4个素因子，我进行了4次选择，选了第1，3，4个素因子，没选第二个，所以莫比乌斯函数值为-1

         这样拆开的每一项除了1都代表着一个因子的莫比乌斯函数值，所以最后要减1

         而我们又可以很明显的看出（1-1）的k次方=0

         实际上，在robot一题中我已静经讲过这种方法的原理了 

         所以，命题得证

         Q.E.D

7.线性时间求解莫比乌斯函数

   代码：

procedure get;
 var i,j,k:longint;
     check:array[0..maxn] of boolean;
 begin
 fillchar(check,sizeof(check),false);
 tot:=0;mu[1]:=1;
 for i:=2 to maxn do
  begin
   if not(check[i]) then begin inc(tot);p[tot]:=i;mu[i]:=-1;end;
   for j:=1 to tot do
    begin
     k:=i*p[j];
     if k>maxn then break;
     check[k]:=true;
     if i mod p[j]<>0 then mu[k]:=-mu[i]
     else begin mu[k]:=0;break;end;
    end;
   end;   
 end;                               

实际上，莫比乌斯反演的应用有很多，证明过程也很精彩，但由于不能上传图片，我就不发上来了