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1.本周学习总结
1.1 总结图内容
1.1.1 图的概念：
图形结构是最普遍的一类数据结构，具有广泛的实际应用。
图中数据元素的关系是多对多的关系，（线性结构一对一，树形结构一对多）
1.1.2 图的定义和基本术语：
图：顶点集 V 和顶点间的关系：边集合E组成的数据结构。
- 图的逻辑结构描述：
Graph = (V , E)
G=（V1,E1）
V1={A, B, C, D, E}
E1={<A,B>, <A,E>, <B,C>, <C,D>,<D,B>,<D,A>, <E,C> }
- 有向图和无向图：
1.有向图：
有向图称由顶点集和弧（“弧”是有方向的边，弧可以用尖括号表示。）集构成的图。
eg：
有向图G1:
G1 = (V1, E1)
V1={A, B, C, E, F}
E1={<A,B>, <A,E>, <B,C>, <C,F>,<F,B>,<F,A>, <E,C> }
2.无向图：
无向图：没方向边（若<v, w>E 必有<w, v>VR。边可以用圆括号表示。）
eg：
无向图G2:
G2 = (V2, E2)
V2={A, B, C, D, E, F}
E2={(A,B), (A,E), (B,E), (C,D), (D,F),(B,F), (C,F) }
- 图的基本术语：
- 端点和邻接点:
无向图:若存在一条边(i，j)，则称顶点i和顶点j互为邻接点。
有向图:存在一条边<i，j>，则称此边是顶点i的一条出边，同时也是顶点j的一条入边；称顶点i 和顶点j 互为邻接点。
2、顶点的度、入度和出度:
无向图：以顶点i为端点的边数称为该顶点的度。
有向图：以顶点i为终点的入边的数目，称为该顶点的入度。以顶点i为始点的出边的数目，称为该顶点的出度。一个顶点的入度与出度的和为该顶点的度。
若一个图中有n个顶点和e条边，每个顶点的度为di（0≤i≤n-1），则有：e=（d0+d1+d2+...+dn-1）/2
3、完全图：
无向图：每两个顶点之间都存在着一条边，称为完全无向图， 包含有n(n-1)/2条边。
有向图：每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边，称为完全有向图，包含有n(n-1)条边。
4、稠密图、稀疏图：
当一个图接近完全图时，则称为稠密图。
相反，当一个图含有较少的边数（即当e<<n(n-1)）时，则称为稀疏图。
5、子图：
设有两个图G=(V，E)和G'=(V'，E')，若V'是V的子集，即V'V，且E'是E的子集，即E'E，则称G'是G的子图。
-
路径和路径长度：
从顶点i到顶点j的一条路径是一个顶点序列(i,i1,i2,…,im,j)，序列中边(i,i1)，(i1,i2)，…，(im-1,im)，(im,j)属于E(G)；
路径长度是指一条路径上经过的边的数目。
简单路径：一条路径上除开始点和结束点可以相同外，其余顶点均不相同， -
回路或环：
回路或环：一条路径上的开始点与结束点为同一个顶点。
简单回路或简单环：开始点与结束点相同的简单路径。
8、连通、连通图和连通分量:
无向图：若从顶点i到顶点j有路径，则称顶点i和j是连通的。
连通图：若图中任意两个顶点都连通，否则称为非连通图。
连通分量：无向图G中的极大连通子图。
任何连通图的连通分量只有一个，即本身而非连通图有多个连通分量。
有向图：若任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则称此有向图为强连通图。
否则，其各个强连通子图称作它的强连通分量。
*在一个非强连通中找强连通分量的方法：
1.在图中找有向环。
2.扩展该有向环：如果某个顶点到该环中任一顶点有路径，并且该环中任一顶点到这个顶点也有路径，则加入这个顶点。
- 权和网
权：图中每一条边都可以附有一个对应的数值，这种与边相关的数值称为权。
网：边上带有权的图称为带权图，也称作网。
1.1.3 图存储结构
- 图的两种主要存储结构：
1.邻接矩阵（二维数组）;
-
邻接矩阵的主要特点：
一个图的邻接矩阵表示是唯一的。
特别适合于稠密图的存储。（一个图的邻接矩阵表示是唯一的。特别适合于稠密图的存储。） -
邻接矩阵存储表示：
1.顶点信息：记录各个顶点信息的顶点表。
2.边或弧信息：各个顶点之间关系的邻接矩阵。
设图 A = (V, E)是一个有 n 个顶点的图
A.Vex[n]:表示顶点信息集
二维数组 A.edge[n][n]表示边的关系
如果<i,j>属于E，或者（i，j）属于E： A.edge[i][j]=1。否则A.edge[i][j]=0. -
邻接矩阵结构体定义：
#define MAXV <最大顶点个数>
typedef struct
{ int no; //顶点编号
InfoType info; //顶点其他信息
} VertexType;//声明顶点的类型
typedef struct //图的定义
{ int edges[MAXV][MAXV]; //邻接矩阵
int n，e; //顶点数，边数
VertexType vexs[MAXV]; //存放顶点信息
} MatGraph;//声明的邻接矩阵类型
MatGraph g;//声明邻接矩阵存储的图
-
两种图的邻接矩阵：
无向图对称：
有向图非对称：
-
网络的邻接矩阵：
A[i][j]=W(i,j),如果i!=j且<i,j>∈E或(i,j)∈E
A[i][j]=∞,否则，但是i!=j
A[i][j]=0,对角线i==j
eg：
-
借助于邻接矩阵容易求得顶点的度：
在无向图中,统计第i行(列)1的个数可得顶点i的度。
即：顶点i的度=第i行或列总度数
在有向图中：
统计第i行1的个数可得顶点i的出度OD;
统计第j列1的个数可得顶点j的入度ID。
2.邻接表
邻接表是对图中每个顶点i建立一个单链表，将顶点i的所有邻接点链起来。
每个单链表上添加一个表头结点（表示顶点信息）。并将所有表头结点构成一个数组，下标为i的元素表示顶点i的表头结点。
图的邻接表存储方法是一种顺序分配与链式分配相结合的存储方法。
- 图的邻接表存储类型定义：
typedef struct Vnode
{ Vertex data; //顶点信息
ArcNode *firstarc; //指向第一条边
} VNode;
typedef struct ANode
{ int adjvex; //该边的终点编号
struct ANode *nextarc; //指向下一条边的指针
InfoType info; //该边的权值等信息
} ArcNode;
typedef struct
{ VNode adjlist[MAXV] ; //邻接表
int n，e; //图中顶点数n和边数e
} AdjGraph;
AdjGraph *G；//声明一个邻接表存储的图G
- 两种图的邻接表：
无向图：
有向图：
- 带权值网络的邻接表：
1.1.4 图的基本运算
1.创建图并初始化:
void CreateAdj(AdjGraph*& G, int n, int e) //创建图邻接表
{
int i, j, a, b;
ArcNode* p;
G = new AdjGraph;
for (i = 0; i < n; i++) G->adjlist[i].firstarc = NULL;
//给邻接表中所有头结点的指针域置初值
for (i = 1; i <= e; i++) //根据输入边建图
{
cin >> a >> b;
p = new ArcNode; //创建一个结点p
p->adjvex = b; //存放邻接点
p->nextarc = G->adjlist[a].firstarc; //采用头插法插入结点p
G->adjlist[a].firstarc = p;
}
G->n = n; G->e = n;
}
2.输出图：
void DispAdj(AdjGraph *G) //输出邻接表G
{ int i;
ArcNode *p;
for (i=0;i<G->n;i++)
{ p=G->adjlist[i].firstarc;//访问第一个节点
printf("%3d: "，i);
while (p!=NULL)
{ printf("%3d[%d]→"，p->adjvex，p->weight);
p=p->nextarc;
}
printf("∧
");
}
}
3.销毁图：
void DestroyAdj(AdjGraph *&G) //销毁邻接表
{ int i; ArcNode *pre，*p;
for (i=0;i<G->n;i++) //扫描所有的单链表
{ pre=G->adjlist[i].firstarc;//p指向第i个单链表的首结点
if (pre!=NULL)
{ p=pre->nextarc;
while (p!=NULL) //释放第i个单链表的所有边结点
{ free(pre);
pre=p; p=p->nextarc;
}
delete pre;
}
}
delete G; //释放头结点数组
}
-
邻接表的特点：
1.邻接表表示不唯一。
2.特别适合于稀疏图存储。 （邻接表的存储空间为O(n+e)） -
邻接表和邻接矩阵的相互转换：
1.邻接矩阵转邻接表：
void MatToList(MGraph g，ALGraph *&G)
//将邻接矩阵g转换成邻接表G
{ int i，j，n=g.n; ArcNode *p; //n为顶点数
G=new AdjGraph;
for (i=0;i<n;i++) //给所有头节点的指针域置初值
G->adjlist[i].firstarc=NULL;
for (i=0;i<n;i++) //检查邻接矩阵中每个元素
for (j=n-1;j>=0;j--)
if (g.edges[i][j]!=0)
{ p=new ArcNode; //创建节点*p
p->adjvex=j;
p->nextarc=G->adjlist[i].firstarc;
//将*p链到链表头
G->adjlist[i].firstarc=p;
}
G->n=n;G->e=g.e;
}
2.邻接表转邻接矩阵：
void ListToMat(ALGraph *G，MGraph &g)
{ int i，j，n=G->n;ArcNode *p;
for (i=0;i<n;i++)
{ p=G->adjlist[i].firstarc;
while (p!=NULL)
{ g.edges[i][p->adjvex]=1;
p=p->nextarc;
}
}
g.n=n;g.e=G->e;
}
1.1.6 图遍历及应用：
-
图的遍历的概念：
从给定图中任意指定的顶点（称为初始点）出发，按照某种搜索方法沿着图的边访问图中的所有顶点，使每个顶点仅被访问一次。 -
图的两种遍历方式：
1.深度优先遍历（DFS）：
*深度优先搜索遍历的过程是：
（1）从图中某个初始顶点v出发，首先访问初始顶点v。
（2）选择一个与顶点v相邻且没被访问过的顶点w为初始顶点，再从w出发进行深度优先搜索，直到图中与当前顶点v邻接的所有顶点都被访问过为止。
*深度优先遍历图的实质：对每个顶点查找其邻接点的过程。
*DFS遍历（访问v节点，遍历v的邻接点w，若w未被访问，递归访问w节点）：
void DFS(ALGraph *G,int v)
{ ArcNode *p;
visited[v]=1; //置已访问标记
printf("%d ",v);
p=G->adjlist[v].firstarc;
while (p!=NULL)
{
if (visited[p->adjvex]==0) DFS(G,p->adjvex);
p=p->nextarc;
}
}
邻接表：时间复杂度为O(n+e)
邻接矩阵：O(n2)
- 非连通图的深度优先搜索遍历：
首先将图中每个顶点的访问标志设为 FALSE, 之后搜索图中每个顶点，如果未被访问，则以该顶点为起始点，进行深度优先搜索遍历，否则继续检查下一顶点。
void DFSTraverse(Graph G) {
// 对非连通图 G 作深度优先遍历。
for (v=0; v<G.vexnum; ++v)
visited[v] = FALSE; // 访问标志数组初始化
for (v=0; v<G.vexnum; ++v)
if (!visited[v]) DFS(G，v); // 对尚未访问的顶点调用DFS
}
2.广度优先遍历（BFS）：
*广度优先搜索遍历的过程是：
（1）访问初始点v，接着访问v的所有未被访问过的邻接点。
（2）按照次序访问每一个顶点的所有未被访问过的邻接点。
（3）依次类推，直到图中所有顶点都被访问过为止。
*eg：
BFS序列：2 1 3 4 0
类似树的层次遍历：队列
*BFS搜索思路：
建一个访问队列q
访问v节点，加入队列q
while(队列不空)
取队头元素w
遍历w的邻接表
取邻接点j
若j未被访问，则加入队列q，并访问j。
end while
邻接表：时间复杂度为O(n+e)
邻接矩阵：O(n2)
*用BFS遍历非连通图：
void BFS1(AdjGraph *G)
{ int i;
for (i=0;i<G->n;i++) //遍历所有未访问过的顶点
if (visited[i]==0)
BFS(G，i);
}
*用DFS判断图是否连通：
采用某种遍历方式来判断无向图G是否连通。这里用深度优先遍历方法，先给visited[]数组（为全局变量）置初值0，然后从0顶点开始遍历该图。
在一次遍历之后，若所有顶点i的visited[i]均为1，则该图是连通的；否则不连通。
int visited[MAXV];
bool Connect(AdjGraph *G) //判断无向图G的连通性
{ int i;
bool flag=true;
for (i=0;i<G->n;i++) //visited数组置初值
visited[i]=0;
DFS(G，0); //调用前面的中DSF算法，从顶点0开始深度优先遍历
for (i=0;i<G->n;i++)
if (visited[i]==0)
{ flag=false;
break;
}
return flag;
}
*如何查找图路径:
利用回溯的深度优先遍历方法。
从顶点u开始进行深度优先遍历。增加path和d记录存走过的路径。
若当前扫描的顶点u = v时，表示找到了一条路径，则输出路径path。
当从顶点u出发的路径找完后，置visited[u]=0，即回溯。
void FindAllPath(AGraph *G，int u，int v，int path[]，int d)
{ //d表示path中的路径长度，初始为-1
int w,i; ArcNode *p;
d++; path[d]=u; //路径长度d增1，顶点u加入到路径中
visited[u]=1; //置已访问标记
if (u==v && d>=1) //找到一条路径则输出
{ for (i=0;i<=d;i++)
printf("%2d",path[i]);
printf("
");
}
p=G->adjlist[u].firstarc; //p指向顶点u的第一个相邻点
while (p!=NULL)
{ w=p->adjvex; //w为顶点u的相邻顶点
if (visited[w]==0) //若w顶点未访问,递归访问它
FindAllPath(G，w，v，path，d);
p=p->nextarc; //p指向顶点u的下一个相邻点
}
visited[u]=0;//恢复环境，使该顶点可重新使用
}
*如何找最短路径:
定义非循环队列结构体类型：
typedef struct
{ int data; //顶点编号
int parent; //前一个顶点的位置
} QUERE;
以路径上经过的边数来衡量路径长度：
void ShortPath(AdjGraph *G,int u,int v)
{ //输出从顶点u到顶点v的最短逆路径
qu[rear].data=u;//第一个顶点u进队
while (front!=rear)//队不空循环
{ front++; //出队顶点w
w=qu[front].data;
if (w==v) 根据parent关系输出路径break;
while(遍历邻接表)
{ rear++;//将w的未访问过的邻接点进队
qu[rear].data=p->adjvex;
qu[rear].parent=front;
}
}
}
广度优先遍历找到的路径一定是最短路径，而深度优先遍历则不一定。
深度优先遍历能找所有路径，而广度优先遍历难以实现。
1.1.6 最小生成树相关算法及应用
- 生成树和最小生成树：
一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点和构成一棵树的(n-1)条边。不能回路。
如果在一棵生成树上添加一条边，必定构成一个环。
一个连通图的生成树不一定是唯一的。
*最小生成树的概念：
对于带权连通图G ，n个顶点，n-1条边
根据深度遍历或广度遍历生成生成树，树不唯一
其中权值之和最小的生成树称为图的最小生成树。
*非连通图和生成树：
非连通图：需多次调用遍历过程。
每个连通分量中的顶点集和遍历时走过的边一起构成一棵生成树。所有连通分量的生成树组成非连通图的生成森林。
- 寻找最小生成树：
一.普里姆算法：
普里姆（Prim）算法是一种构造性算法，用于构造最小生成树。过程如下：
（1）初始化U={v}。v到其他顶点的所有边为候选边；
（2）重复以下步骤n-1次，使得其他n-1个顶点被加入到U中：
从候选边中挑选权值最小的边输出，设该边在V-U中的顶点是k，将k加入U中；
考察当前V-U中的所有顶点j，修改候选边：若(j，k)的权值小于原来和顶点k关联的候选边，则用(k，j)取代后者作为候选边
*构造的最小生成树不一定唯一，但最小生成树的权值之和一定是相同的。
*如何选j到U顶点集的最小边？
设置2个辅助数组。
1.closest[i]：最小生成树的边依附在U中顶点编号。
2.lowcost[i]表示顶点i（i ∈ V－U）到U中顶点的边权重，取最小权重的顶点k加入U。并规定lowcost[k]=0表示这个顶点在U中
3.（closest[k]，k）构造最小生成树一条边。
最小生成树求解：
1.找最小lowcost
2.加入新顶点，修正lowcost, closest
- prim算法代码的实现：
#define INF 32767//INF表示∞
void Prim(Graph G，int v)
{
int lowcost[MAXV];
int min;
int closest[MAXV]， i， j， k;
for (i=0;i<G.n;i++)//给lowcost[]和closest[]置初值
{
lowcost[i]=G.edges[v][i];
closest[i]=v;
}
for (i=1;i<G.n;i++)//输出(n-1)条边
{
min=INF;
for (j=0;j<G.n;j++) //在(V-U)中找出离U最近的顶点k
if (lowcost[j]!=0 && lowcost[j]<min)
{
min=lowcost[j];
k=j;//k记录最近顶点编号
}
lowcost[k]=0;//标记k已经加入U
for (j=0;j<G.n;j++)//修改数组lowcost和closest
if (lowcost[j]!=0 && G.edges[k][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]=G.edges[k][j];
closest[j]=k;
}
}
}
- 贪心算法：
算法原理：以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪心法不要回溯。
算法优点：因为省去了为寻找解而穷尽所有可能所必须耗费的大量时间，因此算法效率高。
贪婪算法的精神就是“只顾如何获得眼前最大的利益”,有时不一定是最优解。
prim算法的应用：
公路村村通：
现有村落间道路的统计数据表中，列出了有可能建设成标准公路的若干条道路的成本，求使每个村落都有公路连通所需要的最低成本。
解决代码：
#include<stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
#define INF 32767
#define MAX 1001
typedef struct
{
int n, e;//定义图的顶点数和边数
int edge[MAX][MAX];//邻接矩阵表示顶点之间的关系
}MINGraph;
//创建村庄图
void CreateEdge(MINGraph*& G, int n, int e)
{
int v1, v2;//同一条边的两端顶点
int weight;//边的权值
G = new MINGraph;
G->n = n;
G->e = e;
int i, j;
//邻接矩阵的初始化
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = 1; j <= n; j++)
{
if (i == j)
{
G->edge[i][j] = 0;
}
else
{
G->edge[i][j] = INF;
}
}
}
//为邻接矩阵赋值
for (i = 1; i <= e; i++)
{
cin >> v1 >> v2 >> weight;
G->edge[v1][v2] = G->edge[v2][v1] = weight;
}
}
int Prim(MINGraph *G, int v)
{
//边权重 最小边权重 边依附在U中顶点
int lowcost[MAX], min, closest[MAX], i, j, k=0;
int fee=0;//最小费用
for (i = 1; i <=G->n; i++) //给lowcost[]和closest[]置初值
{
lowcost[i] = G->edge[v][i];
closest[i] = v;
}
for (i = 1; i < G->n; i++) //找出(n-1)个顶点
{
min = INF;
for (j = 1; j <= G->n; j++) // 在(V-U)中找出离U最近的顶点k
if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)
{
min = lowcost[j];
k = j; // k记录最近顶点的编号
}
lowcost[k] = 0; //标记k已经加入U
fee = fee + min;//最小权值的和
for (j = 1; j <= G->n; j++) //修改数组lowcost和closest
if (lowcost[j] != 0 && G->edge[k][j] < lowcost[j])
{
lowcost[j] = G->edge[k][j];
closest[j] = k;
}
}
if (G->e < n - 1)
return -1;
for (i = 1; i <= G->n; i++)
{
if (lowcost[i] != 0)
return -1;
}
return fee;
}
int main()
{
MINGraph* G;
int n, e;
cin >> n >> e;
CreateEdge(G, n, e);
int fee;
fee = Prim(G,1);
cout << fee;
return 0;
}
二.克鲁斯卡尔算法（Kruskal）
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法也是一种求带权无向图的最小生成树的构造性算法。是一种按权值的递增次序选择合适的边来构造最小生成树的方法。
-
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法过程（时间复杂度为O(n2)）：
（1）置U的初值等于V（即包含有G中的全部顶点），TE（表示最小生成树的边集）的初值为空集（即图T中每一个顶点都构成一个连通分量）。
（2）将图G中的边按权值从小到大的顺序依次选取：
若选取的边未使生成树T形成回路，则加入TE；
否则舍弃，直到TE中包含(n-1)条边为止。 -
Kruskal算法实现的具体代码：
typedef struct
{ int u; //边的起始顶点
int v; //边的终止顶点
int w; //边的权值
} Edge;
Edge E[MAXV];
void Kruskal(Graph G)
{
int i，j，u1，v1，sn1，sn2，k;
int vset[MAXV];
Edge E[MaxSize]; //存放所有边
k=0; //E数组的下标从0开始计
for (i=0;i<G.n;i++) //由G产生的边集E
for (j=0;j<G.n;j++)
if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
{
E[k].u=i; E[k].v=j; E[k].w=G.edges[i][j];
k++;
}
InsertSort(E，G.e); //用直接插入排序对E数组按权值递增排序
for (i=0;i<g.n;i++) //初始化辅助数组
vset[i]=i;
k=1; //k表示当前构造生成树的第几条边，初值为1
j=0; //E中边的下标，初值为0
while (k<G.n) //生成的边数小于n时循环
{
u1=E[j].u;v1=E[j].v; //取一条边的头尾顶点
sn1=vset[u1];
sn2=vset[v1]; //分别得到两个顶点所属的集合编号
if (sn1!=sn2) //两顶点属于不同的集合
{
k++; //生成边数增1
for (i=0;i<g.n;i++) //两个集合统一编号
if (vset[i]==sn2) //集合编号为sn2的改为sn1
vset[i]=sn1;
}
j++; //扫描下一条边
}
}
并查集改良Kruskal算法(时间复杂度是O(elog2e))：
typedef struct
{ int u; //边的起始顶点
int v; //边的终止顶点
int w; //边的权值
} Edge;
Edge E[MAXV];
void Kruskal(AdjGraph *g)
{ int i，j，u1，v1，sn1，sn2，k;
int vset[MAXV]; //集合辅助数组
Edge E[MaxSize]; //存放所有边
k=0; //E数组的下标从0开始计
for (i=0;i<g.n;i++) //由g产生的边集E，邻接表
{ p=g->adjlist[i].firstarc;
while(p!=NULL)
{ E[k].u=i;E[k].v=p->adjvex;
E[k].w=p->weight;
k++; p=p->nextarc;
}
}
Sort(E，g.e); //用快排对E数组按权值递增排序
for (i=0;i<g.n;i++) //初始化集合
vset[i]=i;
k=1; //k表示当前构造生成树的第几条边，初值为1
j=0; //E中边的下标，初值为0
while (k<g.n) //生成的顶点数小于n时循环
{
u1=E[j].u;v1=E[j].v; //取一条边的头尾顶点
sn1=vset[u1];
sn2=vset[v1]; //分别得到两个顶点所属的集合编号
if (sn1!=sn2) //两顶点属于不同的集合
{ printf(" (%d，%d):%d
"，u1，v1，E[j].w);
k++; //生成边数增1
for (i=0;i<g.n;i++) //两个集合统一编号
if (vset[i]==sn2) //集合编号为sn2的改为sn1
vset[i]=sn1;
}
j++; //扫描下一条边
}
}
- 2种算法比较；
普里姆算法：O(n2)、适用于稠密图
克鲁斯卡尔算法：O(eloge)、适用于稀疏图
实现Prim算法，选择图的邻接矩阵存储结构
实现克鲁斯卡尔算法，选择图的邻接表存储结构
1.1.7 最短路径
-
最短路径问题是指：
如果从图中某一顶点（源点）到达另一顶点（终点）的路径可能不止一条，如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和（称为路径长度）达到最小。 -
两种常见的最短路径问题：
1、 单源最短路径—用Dijkstra（迪杰斯特拉）算法（一顶点到其余各顶点）
2、所有顶点间的最短路径—用Floyd（弗洛伊德）算法（任意两顶点之间）
Dijkstra算法：
- 过程：
初始化顶点合集S和未选顶点合集T；
1.S={入选顶点集合，初值V0},T={未选顶点集合}。
若存在<V0,Vi>，距离值为<V0,Vi>弧上的权值
若不存在<V0,Vi>，距离值为∞
从T中选取一个其距离值为最小的顶点W, 加入S
2.从T中选取一个其距离值为最小的顶点W, 加入S
3.S中加入顶点w后，对T中顶点的距离值进行修改：
若加进W作中间顶点，从V0到Vj的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值；
4.重复上述步骤1，直到S中包含所有顶点，即S=V为止。
- 两个常见问题的解决：
1.如何存放最短路径？(最短路径中所有顶点都是最短路径)
采用一维数组path来保存：
2.如何存放最短路径长度？
用一维数组dist[j]存储:dist[j]表示起点v到顶点j的最短路径长度并从源点开始根据最短顶点来调整。
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eg：
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Dijkstra算法的具体代码实现：(算法的时间复杂度为O(n2))
void Dijkstra(Graph G，int v)
{
int dist[MAXV]，path[MAXV];
int s[MAXV];
int mindis,i,j,u;
for (i=0;i<G.n;i++)
{
dist[i]=G.edges[v][i]; //距离初始化
s[i]=0; //s[]置空
if (G.edges[v][i]<INF) //路径初始化
path[i]=v; //顶点v到i有边时
else
path[i]=-1;
}
s[v]=1; //源点v放入S中
for (i=0;i<G.n;i++) //循环n-1次
{
mindis=INF;
for (j=0;j<G.n;j++)
{
if (s[j]==0 && dist[j]<mindis)
{
u=j;
mindis=dist[j];
}
}
s[u]=1; //顶点u加入S中
for (j=0;j<G.n;j++) //修改不在s中的顶点的距离
{
if (s[j]==0)
{
if (G.edges[u][j]<INF && dist[u]+G.edges[u][j]<dist[j])
{
dist[j]=dist[u]+G.edges[u][j];
path[j]=u;
}
}
}
}
//输出最短路径
}
- Dijkstra算法特点:
1.不适用带负权值的带权图求单源最短路径。
2.不适用求最长路径长度。
3.最短路径长度是递增
4.顶点u加入S后，不会再修改源点v到u的最短路径长度
5.按Dijkstra算法，找第一个距离源点S最远的点A，这个距离在以后就不会改变。但A与S的最远距离一般不是直连。
Floyd算法(时间复杂性是O(n3))：
- 算法思路：
有向图G=(V，E)采用邻接矩阵存储
二维数组A用于存放当前顶点之间的最短路径长度，分量A[i][j]表示当前顶点i到顶点j的最短路径长度。
递推产生一个矩阵序列A0，A1，…，Ak，…，An-1
Ak+1[i][j]表示从顶点i到顶点j的路径上所经过的顶点编号k+1的最短路径长度。
- Floyd算法的具体代码：
void Floyd(Graph G)
{
int A[MAXVEX][MAXVEX]; //建立A数组
int path[MAXVEX][MAXVEX]; //建立path数组
int i, j, k;
for (i=0;i<G.n;i++)
for (j=0;j<G.n;j++)
{
A[i][j]=G.edges[i][j];
if (i!=j && G.edges[i][j]<INF)
path[i][j]=i; //i和j顶点之间有一条边时
else
path[i][j]=-1;
}
for (k=0;k<G.n;k++) //求Ak[i][j]
{
for (i=0;i<G.n;i++)
for (j=0;j<G.n;j++)
if (A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]) //找到更短路径
{
A[i][j]=A[i][k]+A[k][j]; //修改路径长度
path[i][j]=path[k][j]; //修改最短路径为经过顶点k
}
}
}
1.1.8 拓扑排序、关键路径
一.拓扑排序：
在一个有向图中找一个拓扑序列的过程称为拓扑排序。序列必须满足条件：
每个顶点出现且只出现一次。
若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
图中有回路，无法拓扑排序.拓扑排序可以用来检测图中是否有回路.
拓扑排序的过程：
1.从有向图中选取一个没有前驱的顶点，并输出之；
2.从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧；
3.重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。
*拓扑排序：1->2->3->4->7->5->6
- 具体代码：
typedef struct //表头结点类型
{
Vertex data; //顶点信息
int count; //存放顶点入度
ArcNode *firstarc; //指向第一条边
}VNode;
void TopSort(AdjGraph *G) //拓扑排序算法
{
int i，j;
int St[MAXV]，top=-1; //栈St的指针为top
ArcNode *p;
for (i=0;i<G->n;i++) //入度置初值0
G->adjlist[i].count=0;
for (i=0;i<G->n;i++) //求所有顶点的入度
{
p=G->adjlist[i].firstarc;
while (p!=NULL)
{
G->adjlist[p->adjvex].count++;
p=p->nextarc;
}
}
for (i=0;i<G->n;i++) //将入度为0的顶点进栈
if (G->adjlist[i].count==0)
{
top++;
St[top]=i;
}
while (top>-1) //栈不空循环
{
i=St[top];top--; //出栈一个顶点i
printf("%d ",i); //输出该顶点
p=G->adjlist[i].firstarc; //找第一个邻接点
while (p!=NULL) //将顶点i的出边邻接点的入度减1
{
j=p->adjvex;
G->adjlist[j].count--;
if (G->adjlist[j].count==0) //将入度为0的邻接点进栈
{
top++;
St[top]=j;
}
p=p->nextarc; //找下一个邻接点
}
}
}
二.关键路径：
AOE-网:
用顶点表示事件，用有向边e表示活动，边的权c(e)表示活动持续时间。是带权的有向无环图
整个工程完成的时间为：从有向图的源点到汇点的最长路径。又叫关键路径（critical path）.
“关键活动(key activity)”指的是：关键路径中的边.
AOE 网图关键词:
AOE网——带权的有向无环图
顶点－－事件或状态
弧(有向边)－－活动及发生的先后关系
权－－活动持续的时间
起点－－入度为０的顶点（只有一个）
终点－－出度为０的顶点（只有一个）
eg:
拓扑序列为：
C4,C0,C3,C2,C1,C5
-
求关键路径的过程:
1.事件的最早开始和最迟开始时间
事件v最早开始时间ve(v)：v作为源点事件最早开始时间为0。
2.事件v的最迟开始时间vl(v)：定义在不影响整个工程进度的前提下，事件v必须发生的时间称为v的最迟开始时间 -
活动:边 的最早开始时间和最迟开始时间:
1.活动a(边)的最早开始时间e(a)指该活动起点x事件的最早开始时间，即：e(a)=ve(x)
2.活动a的最迟开始时间l(a)指该活动终点y事件的最迟开始时间与该活动所需时间之差，即：l(a)=vl(y)-c
-
关键活动：d(a)=l(a)-e(a)，若d(a)为0，则称活动a为关键活动。
关键路径上的活动都是关键活动
关键活动不存在富余时间，适当增加对关键活动的投资，减少关键活动的持续时间，缩短工程工期。 -
求关键路径步骤:
1.对有向图拓扑排序
2.根据拓扑序列计算事件(顶点)的ve，vl数组
ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i,j>)}
vl(i) = Min{vl(j) - dut(<i,j>)}
3.计算关键活动的e[],l[]。即边的最早、最迟时间
e(i) = ve(j)
l(i) = vl(k) - dut(<j, k>
4.找e=l边即为关键活动
5.关键活动连接起来就是关键路径
- eg:
1.2.谈谈你对图的认识及学习体会
对图的认识：
图结构多对多结构其实是线性结构和非线性结构的大本营，线性结构一对一，树形结构一对多，图形结构多对多，图常见类型是有向图 无向图 稀疏图 稠密图 连通图 非连通图 完全图 非完全图等等。用邻接矩阵和邻接表进行存储。
学习体会：
感觉拓扑序列有点不太懂，有的结构是在下一个结构开讲之后才搞懂的，图的建立感觉最难，结构体定义代码量少了也不太容易记住。
2.阅读代码(来源：力扣（LeetCode）)
2.1 题目及解题代码
-
题目：
-
解题代码：
/*
trustSize：表示对数
*trustColSize:表示每队是2个
*/
int findJudge(int N, int** trust, int trustSize, int* trustColSize) {
int cnt[N + 2];
memset(cnt, 0, sizeof(int) * (N + 2));
// 如果被信任，则cnt++，如果信任了别人，则cnt置为-1，肯定不是法官，以后cnt不再增加
for (int i = 0; i < trustSize; i++) {
if (cnt[trust[i][1]] >= 0) {
cnt[trust[i][1]]++;
}
cnt[trust[i][0]] = -1;
}
// 被信任数是N - 1的则是法官
for (int i = 1; i <= N; i++) {
if (cnt[i] == N - 1) {
return i;
}
}
return -1;
}
2.1.1 该题的设计思路
法官不相信任何人，说明法官不存在出度
所有人都信任法官，说明法官的入度为N-1
那么法官的出度加入度为N-1
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
2.1.2 该题的伪代码
int findJudge(int N, int** trust, int trustSize, int* trustColSize) {
//定义出入度数组cnt
// 如果被信任，则cnt++，如果信任了别人，则cnt置为-1，肯定不是法官，以后cnt不再增加
for i = 0 to i = trustSize-1
if 出度不为0即信任后继节点人
后继者可能是法官，入度+1
end if
cnt[trust[i][0]] = -1;//前一个人相信别人，肯定不是法官
end for
// 被信任数是N - 1的则是法官
for i = 1 to i = N
if (入度为N - 1)
return i;
end if
}
return -1;
}
2.1.3 运行结果
2.1.4分析该题目解题优势及难点。
优势：
根据图中节点的出度入度来判断节点人的身份，当所有人除了法官自己都相信法官时法官就可以判断出来了。
难点：
用图的方式来做这道题，其实我感觉方法比较多变叭，好像线性结构也可以做？
2.2 题目及解题代码
-
题目：
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解题代码：
class Solution {
public boolean isBipartite(int[][] graph) {
int n = graph.length;
int[] color = new int[n];
Arrays.fill(color, -1);
for (int start = 0; start < n; ++start) {
if (color[start] == -1) {
Stack<Integer> stack = new Stack();
stack.push(start);
color[start] = 0;
while (!stack.empty()) {
Integer node = stack.pop();
for (int nei : graph[node]) {
if (color[nei] == -1) {
stack.push(nei);
color[nei] = color[node] ^ 1;
}
else if (color[nei] == color[node]) {
return false;
}
}
}
}
}
return true;
}
}
2.2.1 该题的设计思路
使用数组（或者哈希表）记录每个节点的颜色： color[node]。颜色可以是 0， 1，或者未着色（-1 或者 null）。
搜索节点时，需要考虑图是非连通的情况。对每个未着色节点，从该节点开始深度优先搜索着色。每个邻接点都可以通过当前节点着相反的颜色。如果存在当前点和邻接点颜色相同，则着色失败。
使用栈完成深度优先搜索，栈类似于节点的 “todo list”，存储着下一个要访问节点的顺序。在 graph[node] 中，对每个未着色邻接点，着色该节点并将其放入到栈中。
时间复杂度：O(N+E)
空间复杂度：O(N)
2.2.2 该题的伪代码
class Solution {
public boolean isBipartite(int[][] graph) {
定义图节点数n
颜色数组color[]
Arrays.fill(color, -1);
for (int start = 0; start < n; ++start) {
if 邻接点未着色
初始化栈stack
未着色邻接点设为已着色并入栈
while 栈不为空
取栈顶node
for (int nei : graph[node]) //检查邻边
if 当前节点未着色
nei节点入栈
给color[nei]着相反色
end if
else if color[nei]和color[node]颜色相同；即弧两端节点颜色相同
着色失败
end if
end for
end while
end if
end for
return true;
}
}
2.2.3 运行结果
2.2.4分析该题目解题优势及难点
优势：
用红色蓝色标记模块，然后一条弧两边的节点不能是同一个颜色。
用颜色标记各节点之间的关系，到了统计合集的时候用颜色代表就可以了
难点：
需要注意图可能是不连通的：
1、有单独一个点的，没有任何连接，单独的点不算一个独立子集
2、有两个子图的，没有连接
2.3 题目及解题代码
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题目：
-
解题代码：
int trap(vector<int>& height)
{
if (height == null)
return 0;
int ans = 0;
int size = height.size();
vector<int> left_max(size), right_max(size);
left_max[0] = height[0];
for (int i = 1; i < size; i++) {
left_max[i] = max(height[i], left_max[i - 1]);
}
right_max[size - 1] = height[size - 1];
for (int i = size - 2; i >= 0; i--) {
right_max[i] = max(height[i], right_max[i + 1]);
}
for (int i = 1; i < size - 1; i++) {
ans += min(left_max[i], right_max[i]) - height[i];
}
return ans;
}
2.3.1 该题的设计思路
找到数组中从下标 i 到最左端最高的条形块高度 left_max.
找到数组中从下标 i 到最右端最高的条形块高度 right_max.
扫描数组 height 并更新答案：
累加 min(max_left[i], max_right[i])−height[i]到 ans 上
时间复杂度：O(n)。
空间复杂度：O(n)。
2.3.2 该题的伪代码
int trap(vector<int>& height)
{
if height为 0（没有原始图）
return 0;
初始化可以接到的雨水量ans
int size = height.size();
定义左右两边最大高度数组left_max[]和right_max[]
left_max[0] = height[0];//左边第一最大高度=当前最大高度
for i = 1 to i = size-1
从当前元素向左扫描并更新：找到数组中从下标 i 到最左端最高的条形块高度left_max。
end for
right_max[size - 1] = height[size - 1];//右边第一最大高度=当前最大高度
for i = size - 2 to i >= 0
从当前元素向右扫描并更新：找到数组中从下标 i 到最左端最高的条形块高度right_max。
end for
for i = 1 to i = size - 2
累加两边最大高度的较小值减去当前高度的值到ans上；
end for
return ans;
}
2.3.3 运行结果
2.3.4分析该题目解题优势及难点
优势：
提前存储可以接到雨水的最大值，不用每次都扫描获得最大值。
难点：
空间复杂度稍微大一点；
然后要注意雨水量是左边右边模块的更小值去减雨水的当前高度。