ZOJ 3329 One Person Game （经典概率dp+有环方程求解）

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3329

题意：
现在有三个骰子，分别有k1，k2和k3面，面上的点就是1~ki。每次扔骰子，如果这三个骰子的值分别对应为a，b，c，那么将值初始化为0，否则就将三个骰子的点值和相加。求大于等于n的扔骰子次数期望。

思路：

这道题目主要在于推公式，看着别人的题解想了好久。

先设$E(i)$为此时和为i时还需要的期望，易得（1）：$E(i)=sum (E(i+k)P(k))+E(0)P(0)+1$（这里$P(k)$为点值和为k的概率，$P(0)$就是对应a，b，c的概率）。

现在我们要求解的是$E(0)$，而且发现每个式子中都会包含$E(0)$。

当遇到这样的情况时我们可以先假设一下，假设（2）：$E(i)=A(i)E(0)+B(i)$，那么（3）：$E(i+k)=A(i+k)E(0)+B(i+k)$。

将（3）式带入（1）式，得（4）：$E(i)=(sum (A(i+k)P(k))+P(0))*E(0)+sum (B(i+k)P(k))+1$。

将（2）式和（4）式作比较，可得:

（5）：$A(i)=sum (A(i+k)P(k))+P(0)$

（6）：$B(i)=sum (B(i+k)P(k))+1$

而由（2）式我们又可以推出$E(0)=frac{B(0)}{1-A(0)}$。

所以现在要的就是A(0)和B(0)的值，这个很简单，由（5）、（6）递推得到即可。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn=500+5;

int n,k1,k2,k3,a,b,c;
double p0;
double A[maxn],B[maxn],p[maxn];

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        cin>>n>>k1>>k2>>k3>>a>>b>>c;
        memset(p,0,sizeof(p));
        p0=1.0/k1/k2/k3;
        for(int i=1;i<=k1;i++)
        for(int j=1;j<=k2;j++)
        for(int t=1;t<=k3;t++)
        {
            if(i==a && j==b && t==c)  continue;
            p[i+j+t]+=p0;
        }
        for(int i=n;i>=0;i--)
        {
            A[i]=p0,B[i]=1;
            for(int t=3;t<=k1+k2+k3;t++)
            {
                if(i+t>n)  continue;
                A[i]+=A[i+t]*p[t];
                B[i]+=B[i+t]*p[t];
            }
        }
        printf("%.16f
",B[0]/(1-A[0]));
    }
    return 0;
}