• BZOJ 2467: [中山市选2010]生成树(矩阵树定理+取模高斯消元)


    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2467

    题意:

    思路:
    要用矩阵树定理不难,但是这里的话需要取模,所以是需要计算逆元的,但是用辗转相减会更简单。

    引用一大神博客里的介绍:http://blog.csdn.net/u013010295/article/details/47451451

    值得一提的是,有些题目要求行列式模上一个数的结果。怎么求模意义下的行列式呢?这些题答案都比较大,用浮点数的话精度达不到要求,确实是一个问题。(显然强行用高精度分数类直接消元,最后再取模是可以的,但实现起来就复杂了)

    我们注意到最后行列式是主对角线上的元素乘积再取模,根据同余定理,我们只需要对这些元素取模后的结果再相乘,就能得到相同的结果。因此我们可以采用在模意义下对矩阵消元的方法。然而消元过程中我们不可避免地要计算当前列的主元间的比值,这要用到除法;但另一方面,只有加法、减法、乘法操作才能保证同余,怎么在带有除法操作的条件下取模呢?

    如果模的数是个质数(其实只需要模数和除数互质),对于除法我们可以直接变成乘上除数的逆元,根据费马小定理,这个逆元可以用快速幂简单求出来。如果模数不是质数,这就比较复杂了,我们在此介绍一种简单的方法。

    我们知道,如果对于两个正数,不断地把较大的数减去较小的数,最后一定会有一个数为0。你可能已经知道,这就是辗转相减法的过程。同样地,我们对于矩阵中的两行,不断地把主元较大的那一行减去主元较小的那一行,最终一定有一行主元为0,也就是完成了消元(注意这里的减法是模意义下的减法)。而且这一过程是不改变行列式的。

    (需要说明的是,一般情况下,矩阵中可能会有主元为负数的情况,这时我们简单的“大数减小数”显然是不行了。你可能会想到,要对正负数的各种情况判断一下,分别改为加法和减法操作。然而,这里我们讨论的是模意义下的矩阵消元,矩阵的元素都是正整数,并不存在这个问题。)

    这样的减法效率还不够高,显然,如果两个主元相差太大,我们需要不断地用一行减去另一行。我们可以记录下两个主元相除的商x(这里用的是整数除法,当不能整除的时候向上向下取整都可以,由于计算机内部的整数除法实现,我们一般是向下取整,而且也符合我们取商的直觉,下面复杂度计算的是向下取整的做法),一次性用主元较大的行减去主元较小的行乘上x倍,这样效率就大大提高了。我们这样做的复杂度是多少呢?其实你也许已经发现,这一过程实际上就是辗转相除法,所以时间复杂度是O(log(n))的。

     1 #include<iostream>
     2 #include<algorithm>
     3 #include<cstring>
     4 #include<cstdio>
     5 #include<sstream>
     6 #include<vector>
     7 #include<stack>
     8 #include<queue>
     9 #include<cmath>
    10 #include<map>
    11 #include<set>
    12 using namespace std;
    13 typedef long long ll;
    14 typedef pair<int,ll> pll;
    15 const int INF = 0x3f3f3f3f;
    16 const int maxn=500+5;
    17 
    18 int n;
    19 int C[maxn][maxn];
    20 
    21 int Gauss()
    22 {
    23 
    24     for(int i=1;i<=n;i++)
    25         for(int j=1;j<=n;j++)
    26         C[i][j]=(C[i][j]+2007)%2007;
    27 
    28     int ans=1;
    29     for(int i=1;i<=n;i++) //当前行
    30     {
    31         for(int j=i+1;j<=n;j++)  //当前行之后的每一行
    32         {
    33             while(C[j][i])  //利用gcd的方法,不停地进行辗转相除
    34             {
    35                 int tmp=C[i][i]/C[j][i];
    36                 for(int k=i;k<=n;k++)  C[i][k]=(C[i][k]-tmp*C[j][k])%2007;
    37                 for(int k=i;k<=n;k++)  swap(C[i][k],C[j][k]);
    38                 ans=-ans;
    39             }
    40         }
    41         if(C[i][i]==0)  return 0;
    42         ans=(ans*C[i][i])%2007;
    43     }
    44     ans=(ans+2007)%2007;
    45     return ans;
    46 }
    47 
    48 
    49 int main()
    50 {
    51     //freopen("in.txt","r",stdin);
    52     int T;
    53     scanf("%d",&T);
    54     while(T--)
    55     {
    56         memset(C,0,sizeof(C));
    57         scanf("%d",&n);
    58 
    59         int cnt=n;
    60         for(int i=1;i<=n;i++)
    61         {
    62             C[i][i]+=4;
    63             C[i][i%n+1]+=-1;
    64             C[i][(i-1)>=1?i-1:n]+=-1;
    65         }
    66         for(int i=1;i<=n;i++)
    67         {
    68             cnt++;
    69             C[i][cnt]=C[cnt][i]+=-1;
    70             C[cnt][cnt]+=2;
    71             C[cnt][cnt+1]+=-1;
    72             C[cnt+1][cnt]+=-1;
    73 
    74             cnt++;
    75             C[cnt][cnt]+=2;
    76             C[cnt][cnt+1]+=-1;
    77             C[cnt+1][cnt]+=-1;
    78 
    79             cnt++;
    80             C[cnt][cnt]+=2;
    81             C[cnt][i%n+1]+=-1;
    82             C[(i+1)<=n?i+1:1][cnt]+=-1;
    83         }
    84         n=cnt-1;
    85         printf("%d
    ",Gauss());
    86     }
    87     return 0;
    88 }
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