相关例题:NOIP 1999导弹拦截
遇到这题不会去网上搜Dilworth定理,太难受了,看不懂证明
但是,我知道怎么使用了,管那么多,会用就完事了
学习自这篇文章
-1.为什么我不想学证明这个定理
Dilworth定理 在数学理论中的序理论与组合数学中，Dilworth定理根据序列划分的最小数量的链描述了任何有限偏序集的宽度。其名称取自数学家Robert P. Dilworth。 定理内容 编辑 反链是一种偏序集，其任意两个元素不可比；而链则是一种任意两个元素可比的偏序集。Dilworth定理说明，存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分，使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况时，对任何至多能包含来自P中每一个成员一个元素的反链，A一定是此序列中的最大反链。同样地，对于任何最少包含A中的每一个元素的一个链的划分，P也一定是序列可以划分出的最小链族。偏序集的宽度被定义为A与P的共同大小。 另一种Dilworth定理的等价表述是：在有穷偏序集中，任何反链最大元素数目等于任何将集合到链的划分中链的最小数目。一个关于无限偏序集的理论指出，在此种情况下，一个偏序集具有有限的宽度w，当且仅当它可以划分为最少w条链。 [1] 归纳性证明 编辑 令P为一有限偏序集，理论认为P为空集时显然成立。假设P最少有一个元素，令a为P中的极大值。 根据归纳法，假设存在一整数k，使得偏序集 可以被k个不相交的链 覆盖，且最少存在一个大小为k的反链 。显然， ， 。令 为 的极大值， ， 为 中大小为k的反链，令 ， 为包含 的大小为k的反链。确定任意不等的索引 ，那么 。令 ，根据 的定义， 。因此，由 推断出 。通过交换 ，可以得到 。由此得证，A为反链。 现在来讨论P。首先假设， ， 。令K为链 。那么，通过选择 ，使得 不包含大小为k的反链。由于 是 中大小为k-1的反链，归纳推出 可以被k-1个不相交的链覆盖。因此，正如所需要证明的，P可以被k个不相交的链覆盖。其次，如果 ， ，那么由于a是P的极大值， 为P中大小为k+1的反链。现在，P可以被k+1个链 覆盖。到此，定理全部证明结束。 [2]
0.定理的妙处
成功把LIS问题的最小划分次数与最大长度联系在一起
1.基本概念
反链:
简单说就是:>与<=,<与>=
举栗子就是:最大上升子序列(>)的反链是最大不上升子序列(<=),,,最大下降子序列(<)的反链就是最大不下降子序列(>=)
记住不要漏等号
2.下结论
链的最少划分数=反链的最长长度 (不是我自己总结的)
3.举栗子
文字例子:
@1:一个序列最少可以分成n个最长上升子序列,这个序列最长不上升子序列长度为m,则n=m
@2:一个序列最少可以分成n个最长下降子序列,这个序列最长不下降子序列长度为m,则n=m
具体例子:
现在有序列 8 5 2 7 6 4 3 1,它最少可以分为n=2个最长下降子序列,即8 7 6 4 3 1和5 2,,,(8 5 2 7 6 4 3 1)
它最长不下降子序列长度为m=2,即5 7,5 6,2 7,2 6,2 4或2 3,反正没有一个长度超过2的
然后必有n=m,这里的栗子也看出来了,n等于2,m也等于2