题目
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路:
对每个物品都考虑拿几个(这个很好理解)
递推式:f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
时间复杂度是O(V*Σn[i])
转换为为01背包问题:
这里利用了二进制的性质优化
时间复杂度:O(V*Σlog n[i])
例子1:(注意看数字的颜色)
7个物品i的多重背包问题=01背包问题(物品1=1个物品i,物品2=2个物品i,物品3=4个物品i,,,)
2^0+2^1+2^2=7 7-7=0,不用补了
例子2:
8个物品i的多重背包问题=01背包问题(物品1=1个物品i,物品2=2个物品i,物品3=4个物品i,物品4=1个物品i)//蓝色地方是补到8
1+2+4=7 < 8 8-7=1,再补个1
注意每次选的时候还是要判断是否空间超出了
例子3:
5个物品i的多重背包问题=01背包问题(物品1=1个物品i,物品2=2个物品i,物品3=2个物品i)//蓝色地方是补到5
1+2=3<5 5-3=2,再补个2
比方说例子3我们看到了,物品1,物品2,物品3可以组合成0~5的任何数
这样一来,就从多重背包转换成了01背包
继续优化:
图片截图自 背包九讲
最后那个O(Vn)的方法我还没学,先放着,以后其他学完了再学他
