插入排序与希尔排序

插入排序描述：有一个数组num[n]；它有n个元素，假设其中n-1已经排好序了，那么把剩余的那个元素插入到合适的位置即可，这样就完成了排序。根据这个思想，很明显的可以使用递归来完成它。下面是递归版本的代码.

#include <iostream>
using namespace std;
void InsertionSort(int *num, int n);
int temp;
int main()
{
	int num[10] = { 0,2,4,9,8,5,6,7,3,1};
	//int num[10] = { 0,1,1,1,1,0,1,1,1,1 };
	InsertionSort(num, 10);
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << num[i] << '	';
	}
	cout << endl;
	system("pause");
}
void InsertionSort(int *num, int n)
{
	if (1 == n)		//基准条件
	{
		return ;
	}
	else
	{
		int i;
		InsertionSort(num, n - 1);
		if (num[n - 1] > num[0])
		{
			for (i = n - 2; i >= 0; i--)
			{
				if (num[n - 1] > num[i])		//已经排序好的序列中有比第n-1个小的
				{
					temp = num[n - 1];
					for (int j = n - 1; j > i; j--)
					{
						num[j] = num[j - 1];
					}
					num[i + 1] = temp;
					break;
				}
			}
		}
		else	//已经排序好的序列中都比第n-1个大
		{
			temp = num[n - 1];
			for (int i = n - 1; i > 0; i--)
			{
				num[i] = num[i - 1];
			}
			num[0] = temp;
		}
	}
}

递归版本的插入排序，这个程序比较复杂，时间复杂度是Ω(n³）的，因为那个双层循环至少迭代n次，并且循环最大是O(n²）。这个递归版本写起来也不好写。因为数组的插入时间复杂度就是O(n)。如果将数组改成链表，那么数组的插入这个操作的时间复杂度将会降低为O(1)。那么采用循环实现的插入排序的时间复杂度就会降低为O(n²)。

void InsertionSort1(int *num, int n)		//循环方式
{
	int temp;
	int j;
	for (int i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		temp = num[i + 1];
		for (j = i + 1; j > 0; j--)
		{
			if (temp > num[j - 1])         
			{
                //如果当前要插入的元素大于等于序列中的某个元素大，那么插入该位置
				num[j] = temp;
				break;
			}
			else          //把小于要插入元素的值向后移动一个位置，为插入工作做准备。
			{
				num[j] = num[j - 1];
			}
		}
	}
}

很明显，循环实现的代码时间复杂度只有O(n²)。

基于限位器版本的插入排序，它省略了j > 0的这个判断操作。限位器加在了序列的最前面。在这里就是num[0]。这个限位器保证了它不会超出数组的范围。

void InsertionSort2(int *num, int n)
{
	int temp;
	int j;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		temp = num[i + 1];
		num[0] = temp;					 //限位器
		for (j = i + 1;; j--)            //省略了j > 0这个判断
		{
			if (temp >= num[j - 1])		//直接接在后面
			{
				num[j] = temp;
				break;
			}
			else						//把数组里面的数据向后移动一个位置。
			{
				num[j] = num[j - 1];
			}
		}
	}
}

插入排序在输入的数组是严格降序的情况下，（因为此处排序算法是按照升序排列的）该算法出现最坏情况。但是时间复杂度仍然维持在O(n²)。但是该算法对于基本按照升序排列的输入数据有着优秀的表现。（刚好和快速排序相反）这个优点使得它领先于同样时间复杂度的选择排序和冒泡排序。

值得一提的是，上面插入的过程中，可以将顺序查找改为二分查找，但是这个改动仅对链表有效，对于数组而言，没有用，因为即使找到位置变快了，但是移动的次数并不会减少。所以说算法和数据结构是息息相关的。数据结构设计的好，算法的效率也会得到提高。

基于插入排序，Shell发明了希尔排序，希尔排序使用一个增量序列h1,h2,...,ht。要求这个序列中h1必须等于1.在使用hk的一趟排序之后，对于每一个i有num[i] <= num[i + hk]成立。所有相隔hk的元素都被排序。Shell本人给出的增量序列是ht = n/2和hk = h(k+1)/2.（k,t是下标）.根据这个策略实现的代码如下。

#include "pch.h"
#include <iostream>
using namespace std;

void ShellSort(int *num, int size);
int main()
{
	int num[10] = { 0,2,4,9,8,5,6,7,3,1 };
	ShellSort(num, 10);
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		cout << num[i] << '	';
	}
	cout << endl;
	system("pause");
}

void ShellSort(int * num, int size)
{
	int i, j, increasement;
	int temp;
	for ( increasement = size / 2; increasement > 0; increasement /= 2)
	{
		for (i = increasement; i < size; i++)
		{
			temp = num[i];
			for ( j = i; j >= increasement; j -= increasement)
			{
				if (temp < num[j - increasement])
				{
					num[j] = num[j - increasement];
				}
				else
				{
					break;
				}
			}
			num[j] = temp;
		}
	}
}

但是这个增量序列并不是足够好。它的最坏情况是退化为插入排序。因此增量问题在于增量序列未必是互为质数。希尔排序看起来比较简单。但是它的时间复杂度的分析时非常困难的。最坏情况下希尔排序为θ(n²)。

但是希尔排序的实际性能是可以接受的，即使面对很大的数据也是如此。在希尔排序中，增量序列的设计是困难的，它的好坏决定了希尔排序的快慢。（因为它的运行时间依赖于增量序列的选择）