之前发现了线性变换和线性映射对应矩阵的求法和找他们的相似形和相抵形，我们会发现，如果可以把一个线性变换对应的矩阵对角化，那么它比较便于我们进行一些运算，（比如乘方幂次，比如可以和多项式相结合），但是对角化有比较严苛的条件： 特征子空间的维数之和需要等于线性变换A所对应的空间V的维数n，也就是说并不是所有线性变换都可以对角化，比如高阶幂零矩阵，而且相似的不变量有秩，迹，特征多项式等，但是仍然不够细化的区分线性变换，这时我们就要用另一种工具来分相似类。
对于一个矩阵A（线性变换A），它的特征多项式一定是零化多项式（Hamilton-Cayley定理）那么它的最小多项式f(x)=(x-a)^i1*(x-b)^i2*……*(x-z)^in; 这个多项式的特征值就是a~~z，在每一个特征值下的限制映射对应的矩阵必然相似于一个Jordan标准形J, J有n-rank（A-λI）个Jordan块，其中t级Jordan块的数目N=rank（A-λI）^(t+1)+rank（A-λI）^(t-1)-2*rank（A-λI）^(t), 要注意的点有：Jordan形既可以指jordan块构成的分块对角矩阵也可以指Jordan形构成的分块对角矩阵，对于一个特征值我们可以找到一个标准Jordan形，那么我们可以通过找特征值的方式找到若干个标准Jordan形，（通过基的变换对应矩阵的变化，映射本身是不变的），组成的分块对角矩阵也是这个映射下的矩阵，也就是说我们可以通过特征值找到一个矩阵的Jordan标准形，这个标准形是一个上三角矩阵，相对于随意的矩阵形式显然更好处理。
相同Jordan块对应的最小多项式一定相同（比较特殊的考虑以零为对角线元素的Jordan块Ji，这是个幂零矩阵，它的幂零指数就可以对应最小多项式的次数，如果对角线元素是λ1，那么就让这个Jordan块Ji减去λ1*I，就仍然得到了一个幂零矩阵），这里的证明有用到强循环子空间（或者参见王萼芳教授的高等代数有对Jordan标准形的证明）。
Jordan标准形是对角化的进一步扩张，对角矩阵可以看做由n个一阶Jordan块构成的Jordan标准形，也就不难看出这两者之间的关系了
Jordan标准形中比较重要的一点是每一个Jordan块对应的基向量，我们取Ker（A）的一个基α1……αn （这里假定的A是幂零映射，也就是Jordan块的对角元素为零，如果其他的形式，则将A 换成A-λI即可变成这样的幂零映射）， 这些基一定可以找到原象，也可以找到原象的原象，也就对应形成了一个不变子空间< A^[-(n-1)]* α1， A^[-(n-2)] *α1，……，α1 >,不难发现这个空间中每一次的A的映射就是一个Jordan块 （注，由于A^n=0,故A^(-n)不存在，这里的逆映射仅用于理解事实上这个映射的象不止一个，我们只是用这种表达形式表示一个找原象的过程，且找到一个原象就可以满足对应的关系了（非零哦））那么Jordan标准形就是这个线性映射在这样（所有的不变子空间的的基）所构成的新基下的矩阵，也就不难理解为什么所有Jordan块的个数是Ker（A）的维度了。以及不同级数的Jordan块的个数与秩的关系的证明方法（分出一个小的幂零映射，利用数学归纳法就可以证明了）