树状数组(二维)

问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作 
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负） 
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。

一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：

C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中， 
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x, 
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.

例：举个例子来看看C[][]的组成。 
设原始二维数组为： 
　 A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19}, 
{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29}, 
{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}， 
{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}}; 
那么它对应的二维树状数组C[][]呢？

记: 
B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,…} 这是第一行的一维树状数组 
B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,…} 这是第二行的一维树状数组 
B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,…} 这是第三行的一维树状数组 
B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,…} 这是第四行的一维树状数组 
那么： 
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,… 
这是A[][]第一行的一维树状数组

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24, 
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,… 
这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,… 
这是A[][]第三行的一维树状数组

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,… 
这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组 
搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗？ 仔细研究一下,会发现:

（1）在二维情况下，如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为： 

void Modify(int i, int j, int delta)
{

    A[i][j]+=delta;

    for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
        for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y))
        {
            C[x][y] += delta;
        }
}

（2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a[i]j的函数为 

int Sum(int i, int j)
{
    int result = 0;
    for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x))
    {
        for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y))
        {
            result += C[x][y];
        }
    }
    return result;
}

比如： 
Sun(1,1)=C[1][1]; Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];… 
Sun(2,1)=C[2][1]; Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];… 
Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];

#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef long long LL;

const int N = 1100;

int t, n;
LL bit[N][N];

inline int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

LL Query(int x, int y) {
    LL ans = 0;
    for (int i = x; i > 0 ; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
            ans += bit[i][j];
    return ans;
}

void Modify(int x, int y, int c) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) 
        for (int j = y; j < N; j += lowbit(j))
            bit[i][j] += c;
}

 区间修改 区间查询

类比之前一维数组的区间修改区间查询，下面这个式子表示的是点(x, y)的二维前缀和：

∑i=1x∑j=1y∑k=1i∑h=1jd[h][k]∑i=1x∑j=1y∑k=1i∑h=1jd[h][k]

这个式子炒鸡复杂( O(n4)O(n4) 复杂度！)，但利用树状数组，我们可以把它优化到 O(log2n)O(log2⁡n)！

首先，类比一维数组，统计一下每个d[h][k]d[h][k]出现过多少次。d[1][1]d[1][1]出现了x∗yx∗y次，d[1][2]d[1][2]出现了x∗(y−1)x∗(y−1)次……d[h][k]d[h][k] 出现了 (x−h+1)∗(y−k+1)(x−h+1)∗(y−k+1) 次。

那么这个式子就可以写成：

∑i=1x∑j=1yd[i][j]∗(x+1−i)∗(y+1−j)∑i=1x∑j=1yd[i][j]∗(x+1−i)∗(y+1−j)

把这个式子展开，就得到：

(x+1)∗(y+1)∗∑i=1x∑j=1yd[i][j](x+1)∗(y+1)∗∑i=1x∑j=1yd[i][j]

−(y+1)∗∑i=1x∑j=1yd[i][j]∗i−(y+1)∗∑i=1x∑j=1yd[i][j]∗i

−(x+1)∗∑i=1x∑j=1yd[i][j]∗j−(x+1)∗∑i=1x∑j=1yd[i][j]∗j

+∑i=1x∑j=1yd[i][j]∗i∗j+∑i=1x∑j=1yd[i][j]∗i∗j

那么我们要开四个树状数组，分别维护：

d[i][j],d[i][j]∗i,d[i][j]∗j,d[i][j]∗i∗j

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll read(){
    char c; bool op = 0;
    while((c = getchar()) < '0' || c > '9')
        if(c == '-') op = 1;
    ll res = c - '0';
    while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
        res = res * 10 + c - '0';
    return op ? -res : res;
}
const int N = 205;
ll n, m, Q;
ll t1[N][N], t2[N][N], t3[N][N], t4[N][N];
void add(ll x, ll y, ll z){
    for(int X = x; X <= n; X += X & -X)
        for(int Y = y; Y <= m; Y += Y & -Y){
            t1[X][Y] += z;
            t2[X][Y] += z * x;
            t3[X][Y] += z * y;
            t4[X][Y] += z * x * y;
        }
}
void range_add(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb, ll z){ //(xa, ya) 到 (xb, yb) 的矩形
    add(xa, ya, z);
    add(xa, yb + 1, -z);
    add(xb + 1, ya, -z);
    add(xb + 1, yb + 1, z);
}
ll ask(ll x, ll y){
    ll res = 0;
    for(int i = x; i; i -= i & -i)
        for(int j = y; j; j -= j & -j)
            res += (x + 1) * (y + 1) * t1[i][j]
                - (y + 1) * t2[i][j]
                - (x + 1) * t3[i][j]
                + t4[i][j];
    return res;
}
ll range_ask(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb){
    return ask(xb, yb) - ask(xb, ya - 1) - ask(xa - 1, yb) + ask(xa - 1, ya - 1);
}
int main(){
    n = read(), m = read(), Q = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++){
            ll z = read();
            range_add(i, j, i, j, z);
        }
    }
    while(Q--){
        ll ya = read(), xa = read(), yb = read(), xb = read(), z = read(), a = read();
        if(range_ask(xa, ya, xb, yb) < z * (xb - xa + 1) * (yb - ya + 1))
            range_add(xa, ya, xb, yb, a);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            printf("%lld ", range_ask(i, j, i, j));
        putchar('
');
    }
    return 0;
}